對於 21 筆讀數 2.48、2.44、2.40、2.42、2.38、2.49、2.39、2.51、2.40、2.40、2.49、2.43、2.47、2.47、2.49、2.48、2.45、2.35、2.45、2.43、2.43，求平均數、中位數、眾數、全距、變異數與標準差。

Step-by-step solution

1. 1

   把所有數值加總後除以 n。 共有 $n = 21$ 筆讀數，總和為

   $\sum x = 51.25$

   所以

   $\bar{x} = \frac{51.25}{21} = \frac{205}{84} \approx 2.4405$

   這一欄要加兩次 — 只要看錯一個數字（例如加成 $51.45$），平均數以及後面每一個偏差平方都會跟著錯。

2. 2

   只排序一次；中位數、眾數與全距都可從排序後的資料直接讀出。

   $2.35,\ 2.38,\ 2.39,\ 2.40,\ 2.40,\ 2.40,\ 2.42,\ 2.43,\ 2.43,\ 2.43,\ \mathbf{2.44},$
   $2.45,\ 2.45,\ 2.47,\ 2.47,\ 2.48,\ 2.48,\ 2.49,\ 2.49,\ 2.49,\ 2.51$

3. 3

   中位數與全距。 共 $21$ 筆（奇數），中位數就是正中間那一筆，位置為 $\tfrac{21+1}{2} = 11$：

   $\text{中位數} = 2.44$

   而

   $\text{全距} = 2.51 - 2.35 = 0.16$

4. 4

   眾數：作答之前先確認有沒有並列。 數一下出現次數，$2.40$、$2.43$ 與 $2.49$ 各出現三次，沒有任何值出現更多次，所以這組資料有三個眾數：

   $\text{眾數} = 2.40,\ 2.43,\ 2.49$

   一組資料本來就可以有好幾個眾數；在這裡只挑一個是錯的。

5. 5

   用精確的平均數計算偏差平方和。 這裡要用 $\bar{x} = 205/84$，而不是四捨五入後的 $2.44$：

   $\sum (x - \bar{x})^2 = \frac{979}{26250} \approx 0.037295$

6. 6

   相除後開根號。 把這些讀數視為樣本（$n - 1 = 20$）：

   $s^2 = \frac{0.037295}{20} \approx 0.0018648, \qquad s = \sqrt{0.0018648} \approx 0.0432$

   若改視為母體（$n = 21$）：$\sigma^2 \approx 0.0017760$、$\sigma \approx 0.0421$。無論哪一種，離散程度都約為 $0.04$，大約是全距的四分之一，對一組聚集得很緊的資料而言相當典型。