某郵件系統中 20% 的郵件是垃圾郵件。垃圾郵件有 70% 含有「中獎」這個詞，正常郵件只有 12.5% 含有它。現在收到一封含有「中獎」的郵件，它是垃圾郵件的機率是多少？

Step-by-step solution

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   先命名事件，把已知數字歸位。 設 $G$＝「這封是垃圾郵件」、$N$＝「這封是正常郵件」、$L$＝「這封含有『中獎』」。已知

   $P(G)=0.2,\qquad P(N)=0.8$
   $P(L\mid G)=0.7,\qquad P(L\mid N)=0.125$

   注意方向：題目給的是「已知類別、求出現該詞」的機率，要的卻是「已知出現該詞、求類別」。把條件機率反轉過來，正是貝氏定理的用途。

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   寫出所求量的貝氏定理。

   $P(G\mid L)=\frac{P(L\mid G)\,P(G)}{P(L)}$

   分子是「既是垃圾郵件又含該詞」的機率；分母是在全部郵件流中「含該詞」的機率。

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   分母用全機率公式求。 每封郵件必為垃圾或正常，這兩種情形把樣本空間切成互斥且窮盡的兩塊：

   $P(L)=P(L\mid G)P(G)+P(L\mid N)P(N)=0.7\times 0.2+0.125\times 0.8$
   $P(L)=0.14+0.10=0.24$

   所以大約每四封就有一封含該詞 —— 而其中大部分的比重來自數量多得多的正常郵件。

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   代入並化成精確分數。

   $P(G\mid L)=\frac{0.14}{0.24}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}\approx 0.5833$

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   解讀結果並做合理性檢查。 看到這個詞後，垃圾郵件的機率從先驗的 $20\%$ 升到約 $58.3\%$ —— 是很強的證據，但離確定還很遠，因為正常郵件本來就多四倍。一個好用的驗算：假想有 $1000$ 封郵件，其中 $200$ 封是垃圾、有 $140$ 封含該詞；$800$ 封正常、有 $100$ 封含該詞。被標記的 $240$ 封裡有 $140$ 封是垃圾：$140/240=7/12$，與公式一致。