袋中有十顆外觀相同、編號 1 到 10 的球。隨機抽出三顆並記錄號碼。求 (1) 最小號碼是 5 的機率、(2) 最大號碼是 5 的機率。

Step-by-step solution

1. 1

   數出樣本空間。 $\{1,\ldots,10\}$ 的所有 $3$ 元子集都等可能：

   $\binom{10}{3}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120$

2. 2

   把「最小是 5」翻譯成條件。 它表示 $5$ 是這三個號碼之一，而且另外兩個都比 $5$ 大。比 $5$ 大的號碼是 $6,7,8,9,10$ — 共五個。

3. 3

   (1) 計數並相除。

   $\binom{5}{2}=10\quad\Longrightarrow\quad P(\min=5)=\frac{10}{120}=\frac{1}{12}\approx 0.0833$

4. 4

   把「最大是 5」翻譯過來。 這次 $5$ 必須被抽到，而另外兩個必須比它小，要從 $1,2,3,4$ 中選 — 只有四個候選。

5. 5

   (2) 計數並相除。

   $\binom{4}{2}=6\quad\Longrightarrow\quad P(\max=5)=\frac{6}{120}=\frac{1}{20}=0.05$

   $\boxed{P(\min=5)=\tfrac{1}{12},\qquad P(\max=5)=\tfrac{1}{20}}$

6. 6

   檢查最小值的完整分布。 當 $\min=k$ 時計數為 $\binom{10-k}{2}$，所以對 $k=1,\ldots,8$ 求和得 $\binom92+\binom82+\cdots+\binom22=36+28+21+15+10+6+3+1=120$ ✓，與樣本空間相符。兩個答案不對稱是預期中的事：比 $5$ 大的號碼多於比它小的，所以 $5$ 當最小值的機會比當最大值高。