某樣本的摘要統計量為 ΣX = 8、ΣX² = 46，樣本大小為 4。平均數的標準誤是多少？

Step-by-step solution

1. 1

   把兩次除法分開來看。 標準誤是

   $s_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{n}}$

   它需要兩個不同的分母：把 $SS$ 換成 $s^2$ 時用 $n-1$，把 $s$ 換成標準誤時用 $\sqrt{n}$。把這兩者搞混，正是這題所有誘答的來源。

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   算平方和。 用計算公式：

   $SS = \sum X^2 - \frac{\left(\sum X\right)^2}{n} = 46 - \frac{8^2}{4} = 46 - 16 = 30$

3. 3

   求樣本變異數與標準差。 除以 $n - 1 = 3$：

   $s^2 = \frac{30}{3} = 10, \qquad s = \sqrt{10} = 3.16228$

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   除以 $n$ 的平方根。

   $s_{\bar{X}} = \frac{3.16228}{\sqrt{4}} = \frac{3.16228}{2} = 1.58114 \approx 1.581$

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   把各個誘答追溯回去。 $3.162$ 就是 $s$ 本身，跳過了 $\sqrt{n}$ 那一步。$1.826$ 是 $\sqrt{10/3} = \sqrt{3.333}$，來自把變異數又多除了一次 $n-1$。$1.369$ 是 $\sqrt{30/16}$，而 $0.791$ 是 $1.581/2$，多除了一次 2。只有 $1.581$ 恰好把兩次除法各做了一次。

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   用明確的資料做合理性檢查。 四個值 $-1, 0, 3, 6$ 的 $\sum X = 8$ ✓ 且 $\sum X^2 = 1+0+9+36 = 46$ ✓。它們的平均數是 $2$，偏差為 $-3, -2, 1, 4$，$SS = 9+4+1+16 = 30$ ✓ — 與計算公式相符。因此 $s = \sqrt{30/3} = 3.162$、$s_{\bar{X}} = 3.162/2 = 1.581$ ✓。