解聯立方程式 100a + 10b + c = 5.9、400a + 20b + c = 8.4、900a + 30b + c = 10.4，求 a、b、c。

Step-by-step solution

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   動手硬解之前先看出結構。 這些係數正是 $x=10,20,30$ 處的 $x^{2}$、$x$、$1$，所以這個系統其實就是「讓 $y=ax^{2}+bx+c$ 通過 $(10,5.9)$、$(20,8.4)$、$(30,10.4)$」。因為三式中 $c$ 的係數都是 $1$，把相鄰兩式相減就能立刻把它消掉。

2. 2

   用第二式減第一式。

   $(400-100)a+(20-10)b=8.4-5.9\;\Longrightarrow\;300a+10b=2.5\;\Longrightarrow\;30a+b=0.25.$

3. 3

   用第三式減第二式。

   $(900-400)a+(30-20)b=10.4-8.4\;\Longrightarrow\;500a+10b=2\;\Longrightarrow\;50a+b=0.2.$

   這兩個化簡後的式子只差在 $a$ 的係數，所以再減一次就能解出 $a$。

4. 4

   先解 $a$，再解 $b$，最後解 $c$。

   $(50a+b)-(30a+b)=0.2-0.25\;\Longrightarrow\;20a=-0.05\;\Longrightarrow\;a=-0.0025.$

   代入 $30a+b=0.25$：$-0.075+b=0.25$，所以 $b=0.325$。把兩者一起代入原本的第一式：$-0.25+3.25+c=5.9$，所以 $c=2.9$。

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   驗證三個式子。 取 $a=-0.0025$、$b=0.325$、$c=2.9$：$100(-0.0025)+10(0.325)+2.9=-0.25+3.25+2.9=5.9$ ✓；$400(-0.0025)+20(0.325)+2.9=-1+6.5+2.9=8.4$ ✓；$900(-0.0025)+30(0.325)+2.9=-2.25+9.75+2.9=10.4$ ✓。用線性代數的常式解同一個系統，得到的也是 $(-0.0025,\,0.325,\,2.9)$。$a$ 為負代表配適出的拋物線開口向下，這與資料先上升 $2.5$、接著只上升 $2.0$ 的情形一致。