求資料 3, 7, 5, 9, 5, 2 的平均數、中位數與眾數。

Step-by-step solution

1. 1

   平均數：把每個值加起來，再除以個數。 平均數用的是原始順序，所以不需要排序：

   $3+7+5+9+5+2=31,\qquad n=6,$

   $\bar{x}=\frac{31}{6}=5.1\overline{6}\approx 5.1667.$

   把答案留成精確分數 $\tfrac{31}{6}$ 比四捨五入來得好，因為 $31$ 不能被 $6$ 整除，任何小數都只是近似值。

2. 2

   碰中位數之前先排序。 中位數是定義在排好序的清單上的，而這正是大家最常跳過的一步：

   $2,\;3,\;5,\;5,\;7,\;9.$

   若直接從未排序的清單讀中位數，會得到 $\tfrac{5+9}{2}=7$，那是錯的。

3. 3

   中位數：筆數為偶數時，取中間兩個值的平均。 $n=6$ 時中間的位置是第 3 與第 4 個：

   $\text{中位數}=\frac{x_{3}+x_{4}}{2}=\frac{5+5}{2}=5.$

   一般而言，$n$ 為偶數時位置是 $\tfrac{n}{2}$ 與 $\tfrac{n}{2}+1$；$n$ 為奇數時則是單一位置 $\tfrac{n+1}{2}$。這裡中間兩個值剛好都是 $5$，所以中位數恰為 $5$，沒有小數部分。

4. 4

   眾數：數出各值的出現次數。 逐一清點：$2$ 出現一次、$3$ 一次、$5$ 兩次、$7$ 一次、$9$ 一次。最高次數是 $2$，而且只有 $5$ 達到，所以眾數是

   $\text{眾數}=5.$

   一組資料可以沒有眾數（各值次數都相同），也可以有好幾個；這裡剛好只有一個。

5. 5

   拿這三個數字互相檢查。 平均數 $5.1667$ 略高於中位數 $5$，這正符合資料中有一個較大的離群值（$9$）把平均往上拉的情況。三個統計量都落在資料範圍 $[2,9]$ 之內，本來就該如此。