一組 N = 8 的分數有 ΣX = 48、ΣX² = 351。若假設平均數為 2.00，效果量指標 d 是多少？

Step-by-step solution

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   先弄清楚題目問的是哪個公式。 單一樣本設計的 Cohen's $d$ 是把平均數之差除以樣本標準差：

   $d = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s}$

   而 $t$ 統計量除的是標準誤 $s/\sqrt{N}$。混淆這兩者是本題最常見的錯誤，而且在 $N=8$ 時會把答案放大 $\sqrt{8} \approx 2.83$ 倍。

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   求樣本平均數。

   $\bar{X} = \frac{\sum X}{N} = \frac{48}{8} = 6.00$

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   用計算公式求平方和。

   $SS = \sum X^2 - \frac{\left(\sum X\right)^2}{N} = 351 - \frac{48^2}{8} = 351 - \frac{2304}{8} = 351 - 288 = 63$

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   求樣本標準差。 樣本要除以 $N-1 = 7$：

   $s^2 = \frac{SS}{N-1} = \frac{63}{7} = 9, \qquad s = \sqrt{9} = 3$

   這些數字剛好整除，是 $SS$ 這一步算對了的好徵兆。

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   把平均數之差除以 $s$。

   $d = \frac{6.00 - 2.00}{3} = \frac{4}{3} = 1.3333 \approx 1.33$

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   解讀並交叉檢查。 依 Cohen 的慣例 $d = 0.2$ 為小、$0.5$ 為中、$0.8$ 為大，所以 $1.33$ 是大效果。拿誘答 $3.77$ 交叉檢查：那是 $t = \dfrac{4}{3/\sqrt{8}} = \dfrac{4}{1.06066} = 3.7712$ — 它是 $t$ 統計量而不是效果量。而 $1.4254$ 則來自除以母體式的 $\sqrt{63/8} = 2.80624$，也就是誤用 $N$ 而非 $N-1$。