設 X 服從平均數 55、標準差 10 的常態分布，求 P(X > 58.253)。

Step-by-step solution

1. 1

   把切點標準化。

   $z=\frac{58.253-55}{10}=\frac{3.253}{10}=0.3253$

   這個值只比平均數高約三分之一個標準差，所以上尾機率應該略小於 $0.5$。

2. 2

   把「大於」轉換成累積面積。 標準常態表給的是左尾面積，所以要用補事件：

   $P(X>58.253)=P(Z>0.3253)=1-\Phi(0.3253)$

   忘了這個減法 — 直接把 $\Phi(z)$ 本身當答案 — 是右尾問題裡最常見的單一錯誤。

3. 3

   求 $\Phi$ 的值。

   $\Phi(0.3253)=0.62752$

   所以

   $P(X>58.253)=1-0.62752=0.37248$

4. 4

   取近似並作答。

   $P(X>58.253)\approx 0.3725\quad\text{（約 }37.25\%\text{）}$

5. 5

   對照幾個標竿做合理性檢查。 $z=0$ 時右尾恰為 $0.5$，$z=0.5$ 時為 $0.3085$。因為 $0.3253$ 落在 $0$ 與 $0.5$ 之間，答案就必須落在 $0.3085$ 與 $0.5$ 之間 — 而 $0.3725$ 確實如此 $\checkmark$。由對稱性，$P(X<51.747)$ 也等於同一個 $0.3725$。