三組各 7 位受試者的 ΣX 分別為 36、17、13，ΣX 平方分別為 200、59、35（總計 ΣX = 66、ΣX 平方 = 294、N = 21）。請做單因子變異數分析並報告效果量 eta 平方。

Step-by-step solution

1. 1

   校正項只算一次，之後重複使用。 單因子變異數分析裡每一個平方和都由同一個總計項組成：

   $\frac{\left(\sum X_{\text{tot}}\right)^{2}}{N}=\frac{66^{2}}{21}=\frac{4356}{21}=207.4286$

   只算一次並多留幾位小數，可以避免捨入漂移 —— 那正是學生作業裡 $SS_{\text{within}}$ 會算出負數的原因。

2. 2

   總變異。

   $SS_{\text{total}}=\sum X^{2}_{\text{tot}}-\frac{\left(\sum X_{\text{tot}}\right)^{2}}{N}=294-207.4286=86.5714$

3. 3

   由分組所解釋的變異。 把每個分數換成它所屬組別的平均數；用摘要統計來說，就是把每組總和平方後除以該組的 $n$：

   $SS_{\text{between}}=\sum\frac{\left(\sum X_j\right)^{2}}{n_j}-\frac{\left(\sum X_{\text{tot}}\right)^{2}}{N}=\frac{36^{2}+17^{2}+13^{2}}{7}-207.4286$

   $=\frac{1296+289+169}{7}-207.4286=250.5714-207.4286=43.1429$

4. 4

   效果量：分組所佔的變異比例。

   $\eta^{2}=\frac{SS_{\text{between}}}{SS_{\text{total}}}=\frac{43.1429}{86.5714}=0.4983\approx0.50$

   寫成精確分數就是 $\frac{302/7}{606/7}=\frac{151}{303}$。對照慣用基準（$0.01$ 小、$0.06$ 中、$0.14$ 大），約 $0.50$ 的 $\eta^{2}$ 是非常大的效果：分數中有一半的變異與受試者被分在哪一組有關。

5. 5

   把變異數分析表補完，確認結果顯著。 剩下的變異是

   $SS_{\text{within}}=86.5714-43.1429=43.4286,\qquad df_{\text{between}}=2,\quad df_{\text{within}}=18$

   $MS_{\text{between}}=\frac{43.1429}{2}=21.571,\qquad MS_{\text{within}}=\frac{43.4286}{18}=2.413$

   $F=\frac{21.571}{2.413}=8.94$

6. 6

   把 $F$ 與臨界值比較。 在 $df=(2,18)$ 下，$F_{.05}=3.55$、$F_{.01}=6.01$。因為 $8.94$ 兩者都超過（精確 $p=0.002$），「三組來自同一母體」的虛無假設在 $.01$ 水準下被拒絕 —— 這與非常大的 $\eta^{2}$ 一致。三組的平均數 $5.14$、$2.43$、$1.86$ 也顯示差異出在哪裡。