一項交通研究預測十字路口、Y 形路口與三叉路口的事故數會呈 3:2:1 的比例。在車流量相同的路口共 200 件事故中，觀察次數分別為 116、60 與 24。請對這個預測做卡方檢定。

Step-by-step solution

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   先挑對檢定。 這裡只有一個類別變數（路口類型），要比對的是一個理論分布，而不是兩個變數的交叉表。所以這是卡方適合度檢定，不是獨立性檢定。這個區分很重要，因為它把自由度定成 $k-1$ 而不是 $(r-1)(c-1)$。

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   由比例算出期望次數。 總數為 $116+60+24=200$，而 $3:2:1$ 把整體切成六等份：

   $E_1=200\cdot\tfrac{3}{6}=100,\qquad E_2=200\cdot\tfrac{2}{6}=66.\overline{6},\qquad E_3=200\cdot\tfrac{1}{6}=33.\overline{3}.$

   所有期望次數都大於 $5$，卡方近似可以放心使用。請保留精確分數 $\tfrac{200}{3}$ 與 $\tfrac{100}{3}$，不要用四捨五入後的 $66.67$ 與 $33.33$，否則捨入誤差會混進統計量裡。

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   逐格算出對 $\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$ 的貢獻。

   $\frac{(116-100)^2}{100}=\frac{256}{100}=2.56,\qquad \frac{\left(60-\tfrac{200}{3}\right)^2}{\tfrac{200}{3}}=\frac{400/9}{200/3}=\frac{2}{3},\qquad \frac{\left(24-\tfrac{100}{3}\right)^2}{\tfrac{100}{3}}=\frac{784/9}{100/3}=\frac{196}{75}.$

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   把三格加起來。 通分到 $75$：

   $\chi^2=\frac{192}{75}+\frac{50}{75}+\frac{196}{75}=\frac{438}{75}=\frac{146}{25}=5.84.$

   這個值恰好是 $5.84$，不是四捨五入的結果。注意期望次數最小的三叉路口貢獻最大（$2.613$），儘管它的原始落差比十字路口的超出量還小 —— 這就是 $1/E$ 加權在起作用。

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   與臨界值比較。 有 $k=3$ 個類別，故 $df=k-1=2$。在 $\alpha=0.05$ 下臨界值為 $\chi^2_{0.05,2}=5.991$。當 $df=2$ 時 $p$ 值有封閉形式 $p=e^{-\chi^2/2}=e^{-2.92}\approx 0.054$。

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   寫下結論。 因為 $5.84<5.991$（等價地 $p\approx 0.054>0.05$），我們不拒絕虛無假設。觀察次數與預測的 $3:2:1$ 比例相符 —— 不過只是勉強通過，值得再收集更大的樣本。