盒中有 6 顆紅球與 6 顆藍球，一次抽出 6 顆。其中至少有 2 顆是紅球的機率是多少？

Step-by-step solution

1. 1

   先數樣本空間。 六顆球是一次抽出的，所以順序無關，從 $12$ 顆中取 $6$ 顆的每一種組合都等機率：

   $\binom{12}{6}=924.$

2. 2

   用餘事件，而不是分成五種情形。 「至少 $2$ 顆紅」涵蓋 $2,3,4,5,6$ 顆紅 —— 要算五次。它的餘事件卻只有兩種：$0$ 顆紅或 $1$ 顆紅。所以改算

   $P(\text{at least }2\text{ red})=1-P(0\text{ red})-P(1\text{ red}).$

   只要「至少 $k$ 個」在另一邊留下的情形比較少，走餘事件就是比較短的路。

3. 3

   數出沒有紅球的抽法。 抽出的六顆必須全是藍球，而藍球恰好只有 $6$ 顆，所以這樣的組合只有一種：

   $\binom{6}{0}\binom{6}{6}=1\cdot 1=1.$

4. 4

   數出恰有一顆紅球的抽法。 從 $6$ 顆紅球選 $1$ 顆、從 $6$ 顆藍球選 $5$ 顆；兩個選擇互相獨立，所以相乘：

   $\binom{6}{1}\binom{6}{5}=6\cdot 6=36.$

   合起來，餘事件在 $924$ 種可能抽法中佔了 $1+36=37$ 種。

5. 5

   相減得到答案。

   $P=1-\frac{37}{924}=\frac{924-37}{924}=\frac{887}{924}\approx 0.9600.$

   這個分數已經是最簡（$924=2^{2}\cdot 3\cdot 7\cdot 11$ 與質數 $887$ 沒有公因數）。把全部 $924$ 個子集暴力列舉，其中有 $887$ 個含兩顆以上紅球，印證了結果 —— 而接近 $96\%$ 的機率也很合理：抽走盒中一半的球卻幾乎避開某一種顏色，本來就非常不容易。