一組 N = 8 的分數，總和 X = 48、平方和 X 平方 = 351。對假設平均數 2.00 做檢定：求 t 值、判斷是否拒絕虛無假設，並計算效果量。

Step-by-step solution

1. 1

   直接由總和求樣本平均數。

   $\bar X=\frac{\sum X}{N}=\frac{48}{8}=6$

   做 $t$ 檢定從來不需要原始資料 —— $N$、$\sum X$ 與 $\sum X^{2}$ 就承載了檢定會用到的全部資訊。

2. 2

   用平方和的計算式。 定義式 $\sum(X-\bar X)^2$ 需要個別分數，但代數上完全等價的形式不需要：

   $SS=\sum X^{2}-\frac{\left(\sum X\right)^{2}}{N}=351-\frac{48^{2}}{8}=351-288=63$

   $s^{2}=\frac{SS}{N-1}=\frac{63}{7}=9\qquad\Longrightarrow\qquad s=3$

   除以 $N-1$ 而不是 $N$，才使 $s^2$ 成為母體變異數的不偏估計，這同時也把自由度定在 $7$。

3. 3

   把樣本標準差換成標準誤。 檢定統計量是用「樣本平均數會跳動多少」當尺度，去比較平均數與 $\mu_0$ 的距離：

   $SE=\frac{s}{\sqrt N}=\frac{3}{\sqrt 8}=\frac{3}{2.8284}=1.0607$

4. 4

   算出 $t$ 統計量。

   $t=\frac{\bar X-\mu_0}{SE}=\frac{6-2}{1.0607}=3.771\qquad(df=N-1=7)$

   如果選擇題的選項裡沒有接近 $3.77$ 的值，正確的回答就是「以上皆非」—— 不要靠四捨五入硬湊到隔壁的選項。

5. 5

   與自由度 7 的臨界值比較。 雙尾臨界值為

   $t_{.05}=2.365,\qquad t_{.01}=3.499,\qquad t_{.001}=5.408$

   因為 $3.771$ 超過 $2.365$ 與 $3.499$、但沒超過 $5.408$，所以虛無假設在 .05 與 .01 水準下被拒絕，在 .001 水準下則否。精確的雙尾 $p$ 值是 $0.0070$，恰好落在 $.01$ 與 $.001$ 之間，與這個比較完全吻合。

6. 6

   報告效果量，因為顯著性本身不提供這個資訊。 對單一樣本檢定，Cohen's $d$ 以標準差為單位衡量差距：

   $d=\frac{\bar X-\mu_0}{s}=\frac{6-2}{3}=1.33$

   依慣用基準（$0.2$ 小、$0.5$ 中、$0.8$ 大），這是很大的效果。注意 $d$ 用的是 $s$ 而不是 $SE$ —— 若除以 $1.0607$ 就只是把 $t$ 值再算一次而已。