一副 60 張的牌中有 11 張是標記牌。先抽 5 張當開局手牌並在不看的情況下放到一旁，接著再從剩下的 55 張中隨機抽 3 張。這 3 張中至少有一張是標記牌的機率是多少？

Step-by-step solution

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   先處理開局手牌 — 這正是本題的重點。 很容易想去對「前五張裡有幾張標記牌」取條件。但過程中沒有觀察到任何資訊，而且整副牌是均勻洗過的，所以總共抽出的八張（先五張、再三張）就只是一個均勻隨機的八張有序樣本。由可交換性，第 6、7、8 個位置抽到某個特定三張組合的機率，與第 1、2、3 個位置完全相同。

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   化約成單純的抽三張。 於是問題變成：

   $P(\text{三張中至少一張是標記牌，抽自完整的 }60)$

   其中有 $11$ 張標記牌與 $60-11=49$ 張非標記牌。

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   改用補事件。「至少一張」是一堆互相重疊的事件的聯集，所以改去數那個唯一好算的補事件：

   $P(\text{至少一張})=1-P(\text{沒有標記牌})=1-\frac{\binom{49}{3}}{\binom{60}{3}}$

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   算出兩個二項式係數。

   $\binom{49}{3}=\frac{49\cdot 48\cdot 47}{6}=18424,\qquad \binom{60}{3}=\frac{60\cdot 59\cdot 58}{6}=34220$

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   相減。

   $P=1-\frac{18424}{34220}=\frac{34220-18424}{34220}=\frac{15796}{34220}$

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   換算成百分比。

   $\frac{15796}{34220}=0.461601\ldots\approx 46.2\%$

   對可交換性那一步的合理性檢查：答案完全不取決於開局手牌的張數 — 先抽 $0$ 張、$5$ 張或 $20$ 張再抽 $3$ 張，只要都沒有翻開，得到的都是同一個 $46.16\%$。