袋中有 3 顆紅球與 5 顆白球，同時隨機抽出兩顆球。兩顆都是紅球的機率是多少？

Step-by-step solution

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   先決定順序算不算數。 兩顆球是一起抽出的，所以一次抽取就是一個無序的配對。用組合去數無序配對，可以讓分子和分母的口徑一致；改用有序配對也會得到相同答案，只要分數的上下兩邊都同樣處理就好。

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   數出所有等機率的結果。 袋中有 $3+5=8$ 顆球，任意兩顆相異球的配對都同樣可能，所以樣本空間有

   $\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28$

   個元素。

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   數出有利的結果。 兩顆都是紅球，就是從 $3$ 顆紅球裡選 $2$ 顆：

   $\binom{3}{2}=3$

   白球除了把分母撐大之外沒有別的作用。

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   相除得到機率。

   $P(\text{兩球皆紅})=\frac{\binom{3}{2}}{\binom{8}{2}}=\frac{3}{28}\approx 0.107$

   $\boxed{\dfrac{3}{28}}$

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   用逐次抽取（乘法法則）的方法確認。 一次抽一顆。第一顆是紅球的機率是 $\tfrac{3}{8}$；在此之下，剩下的 $7$ 顆中只有 $2$ 顆紅球，所以第二顆是紅球的機率是 $\tfrac{2}{7}$：

   $\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$

   兩者一致，正好確認我們是按「不放回」來處理的。若是放回抽樣，答案會變成 $\left(\tfrac{3}{8}\right)^2=\tfrac{9}{64}$，明顯大一些。