三門砲獨立地向目標射擊，命中機率分別為 0.2、0.3 與 0.5。求 (1) 至少一門命中目標的機率、(2) 恰好一門命中的機率。

Step-by-step solution

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   替事件與其反面命名。 令 $A_1,A_2,A_3$ 表示命中，$P(A_1)=0.2$、$P(A_2)=0.3$、$P(A_3)=0.5$。獨立表示機率可以相乘，而未命中的機率就是它們的補事件 $0.8$、$0.7$ 與 $0.5$。

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   (1) 用補事件，不要去展開三個事件的聯集。 三個事件的排容原理要算七項；補事件只要算一個乘積：

   $P(\text{至少一門命中})=1-P(\text{三門都沒中})=1-(0.8)(0.7)(0.5)$

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   算出結果。

   $(0.8)(0.7)(0.5)=0.28\quad\Longrightarrow\quad P=1-0.28=0.72$

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   (2) 列出恰好一門命中的三種互斥情形。 恰好一門命中，就是一門命中而另外兩門都沒中：

   $P=\underbrace{(0.2)(0.7)(0.5)}_{\text{只有第一門}}+\underbrace{(0.8)(0.3)(0.5)}_{\text{只有第二門}}+\underbrace{(0.8)(0.7)(0.5)}_{\text{只有第三門}}$

   注意每一門自己的命中機率只出現一次，另外兩門則以未命中的形式進來 — 這是很常出錯的地方。

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   把三項加起來。

   $0.07+0.12+0.28=0.47$

   $\boxed{P(\text{至少一門})=0.72,\qquad P(\text{恰好一門})=0.47}$

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   用完整分布檢查。 命中 $0,1,2,3$ 門的機率分別是 $0.28$、$0.47$、$0.22$ 與 $0.03$（命中兩門：$0.2\cdot 0.3\cdot 0.5+0.2\cdot 0.7\cdot 0.5+0.8\cdot 0.3\cdot 0.5=0.03+0.07+0.12=0.22$；命中三門：$0.2\cdot 0.3\cdot 0.5=0.03$）。四者加總為 $1.00$ ✓，而且 $0.47+0.22+0.03=0.72$ 重現了第 (1) 小題的答案。