男性有 5%、女性有 0.25% 是色盲，且男女各佔人口的一半。隨機選出一人。(1) 此人是色盲的機率為何？(2) 已知此人是色盲，他是男性的機率為何？

Step-by-step solution

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   設定符號與已知機率。 令 $M$ = 男性，$W$ = 女性，$B$ = 色盲。已知條件為

   $P(M)=P(W)=0.5,\qquad P(B\mid M)=0.05,\qquad P(B\mid W)=0.0025$

   注意 $0.25\%=0.0025$，不是 $0.025$ — 這裡差了十倍的話，兩小題的答案都會跟著錯。

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   (1) 使用全機率公式。 $M$ 與 $W$ 把整個人口分割成互斥且窮盡的兩塊，所以

   $P(B)=P(M)P(B\mid M)+P(W)P(B\mid W)$

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   計算第 (1) 小題。

   $P(B)=0.5(0.05)+0.5(0.0025)=0.025+0.00125=0.02625$

   因此全體人口中約有 $2.6\%$ 是色盲 — 合理地落在男性比率 $5\%$ 與女性比率 $0.25\%$ 之間。

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   (2) 使用貝氏定理。 題目把條件的方向反了過來：

   $P(M\mid B)=\frac{P(M)P(B\mid M)}{P(B)}=\frac{0.025}{0.02625}$

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   計算第 (2) 小題。 分子分母同乘 $10000$ 後再約分，

   $\frac{250}{262.5}=\frac{2000}{2100}=\frac{20}{21}\approx 0.9524$

   $\boxed{P(B)=0.02625,\qquad P(M\mid B)=\tfrac{20}{21}\approx 0.952}$

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   檢查反轉後的結果是否合理。 雖然男性只佔人口的一半，色盲者中卻有 $95\%$ 是男性 — 因為男性的色盲比率是女性的 $20$ 倍。用補事件驗證：$P(W\mid B)=\tfrac{0.00125}{0.02625}=\tfrac{1}{21}$，而 $\tfrac{20}{21}+\tfrac{1}{21}=1$ ✓。