求 4、8、6、5、3 的標準差。

Step-by-step solution

1. 1

   先算平均數 — 後面每一步都靠它。

   $\bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2$

   五個整數的平均數不是整數，所以要精確保留 $5.2$，不要四捨五入成 $5$ — 這裡一捨入，每個偏差平方都會失真。

2. 2

   把每個對平均數的偏差平方。 偏差可以是負的，而平方正是用來消掉正負號，免得它們互相抵消：

   $(4-5.2)^2 = 1.44, \quad (8-5.2)^2 = 7.84, \quad (6-5.2)^2 = 0.64$

   $(5-5.2)^2 = 0.04, \quad (3-5.2)^2 = 4.84$

3. 3

   相加得到平方和。

   $\sum (x - \bar{x})^2 = 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 = 14.8$

   順手檢查一下：原始偏差 $-1.2, 2.8, 0.8, -0.2, -2.2$ 加起來是 $0$，只要平均數算對就必然如此。

4. 4

   決定除數：n 還是 n − 1。 把這五個數當成整個母體就除以 $n = 5$；當成從更大範圍抽出的樣本就除以 $n - 1 = 4$（貝索校正，用來補償平均數是由同一批資料估出來的）：

   $\sigma^2 = \frac{14.8}{5} = 2.96, \qquad s^2 = \frac{14.8}{4} = 3.7$

5. 5

   開平方根。

   $\sigma = \sqrt{2.96} \approx 1.72, \qquad s = \sqrt{3.7} \approx 1.92$

   資料筆數這麼少時，兩個答案差得很明顯，所以務必說明你用的是哪一種。課本上沒特別註明、而且給的是完整五個數的題目，通常要的是母體的值 $1.72$。