求檢定統計量 z = 2.1 的雙尾 p 值。

Step-by-step solution

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   先說清楚 p 值在衡量什麼。 它是在虛無假設為真的前提下，得到至少與觀察值一樣極端的檢定統計量的機率。對雙尾檢定而言，「極端」指的是往任一方向遠離零。

2. 2

   求上尾的面積。 由標準常態分布，

   $P(Z>2.1)=1-\Phi(2.1)=1-0.982136=0.017864.$

   查表會得到 $\Phi(2.1)=0.9821$；用誤差函數算出的精確值是 $0.9821356$。

3. 3

   加倍以計入另一側尾端。 由對稱性，$P(Z<-2.1)$ 等於同樣的 $0.017864$，所以

   $p=2\times 0.017864=0.035729\approx 0.0357.$

   忘了加倍是這裡最常見的單一錯誤 — 那會讓結果看起來比實際顯著一倍。

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   與常用的門檻比較。 因為 $0.0357<0.05$，結果在 $5\%$ 水準下顯著；但因為 $0.0357>0.01$，在 $1\%$ 水準下就不顯著。等價地說，$2.1$ 超過了雙尾臨界值 $1.96$，卻不到 $2.576$。

5. 5

   謹慎地陳述結論。 在 $\alpha=0.05$ 下拒絕 $H_0$。$p$ 值是「給定 $H_0$ 成立時，出現這麼極端資料」的機率 — 而不是 $H_0$ 為真的機率，後者是一個完全不同、而且被嚴重誤用的說法。