兩個獨立事件的機率各為 73%。合併後的機率是多少？

Step-by-step solution

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   先注意到題目有歧義，並把它講明。「合併」可以指兩件事都發生，也可以指至少一件發生。這是兩個不同的數字，此處的落差將近 $40$ 個百分點 — 所以在動筆計算之前必須先把解讀敲定。有一件事它絕不可能是：把兩者相加，$73\%+73\%=146\%$ 是不可能的，因為機率不能超過 $1$。

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   解讀一 — 兩件事都發生。 對獨立事件而言機率相乘：

   $P(A\text{ 且 }B)=P(A)\times P(B)=0.73\times0.73=0.5329=53.29\%$

   同時要求兩件事都成立，永遠比只要其中一件更難，所以答案必須低於 $73\%$ ✓。

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   解讀二 — 至少一件發生。 改用補事件：「至少一件」只有在兩件都失敗時才不成立，而每一件失敗的機率是 $1-0.73=0.27$：

   $P(\text{兩件都不發生})=0.27\times0.27=0.0729$

   $P(\text{至少一件})=1-0.0729=0.9271=92.71\%$

   兩次機會裡只要中一次，比單靠其中一件更容易，所以這個值必定超過 $73\%$ ✓。

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   拿兩個答案互相檢查。 四個互斥結果的機率必須加總為 $1$：兩件都發生 $=0.5329$，只有第一件 $=0.73\times0.27=0.1971$，只有第二件 $=0.1971$，兩件都不發生 $=0.0729$。相加得 $0.5329+0.1971+0.1971+0.0729=1.0000$ ✓。這也順帶告訴我們，恰好發生一件的機率是 $0.3942=39.42\%$。

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   留意獨立性在哪裡起作用。 這兩個公式都假設兩事件互不影響。若它們完全正相關，「兩件都」會是 $73\%$，「至少一件」也會是 $73\%$；若互斥，「兩件都」則是 $0$。獨立性是必須明講的假設，不是預設值。

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   總結兩個答案。 兩件都發生：$\mathbf{53.29\%}$。至少一件發生：$\mathbf{92.71\%}$。上面每個數字都重新算過，四個結果也已驗證恰好加總為 $1$ ✓。