設 (X, Y) 的聯合密度為 f(x,y) = A(2 − x − y)，其中 0 ≤ x ≤ 1 且 0 ≤ y ≤ x，其餘為 0。(1) 求 A。(2) 求 P(2X − Y < 1)。(3) 求 F(1/2, 1/4) 與 F(1/2, −1)。

Step-by-step solution

1. 1

   (1) 在正確的區域上套用正規化條件。 支撐集是三角形 $0\le y\le x\le 1$，所以先讓 $y$ 從 $0$ 積到 $x$，再讓 $x$ 從 $0$ 積到 $1$：

   $\int_{0}^{x}(2-x-y)\,dy=\left[(2-x)y-\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x}=2x-x^{2}-\frac{x^{2}}{2}=2x-\frac32x^{2}$

2. 2

   完成正規化。

   $A\int_{0}^{1}\left(2x-\tfrac32x^{2}\right)dx=A\left[x^{2}-\tfrac12x^{3}\right]_{0}^{1}=A\left(1-\tfrac12\right)=\frac{A}{2}=1$

   $\boxed{A=2}$

3. 3

   (2) 把事件成立的區域分割開來。 事件 $2X-Y<1$ 就是 $y>2x-1$。當 $x\le\tfrac12$ 時界線 $2x-1$ 為 $\le 0$，所以整條 $0\le y\le x$ 都符合；當 $x>\tfrac12$ 時只有 $2x-1<y\le x$ 符合。因此

   $P=\int_{0}^{1/2}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx+\int_{1/2}^{1}\!\!\int_{2x-1}^{x}f\,dy\,dx$

   在 $x=\tfrac12$ 這裡分割，正是這一小題全部的難點所在。

4. 4

   算出兩塊的值。 代入 $f=2(2-x-y)$，

   $\int_{0}^{1/2}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx=\frac38,\qquad \int_{1/2}^{1}\!\!\int_{2x-1}^{x}f\,dy\,dx=\frac{5}{24}$

   $P\{2X-Y<1\}=\frac38+\frac{5}{24}=\frac{9+5}{24}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}\approx 0.583$

5. 5

   (3) 計算 F(1/2, 1/4)。 依定義 $F(u,v)=P\{X\le u,\ Y\le v\}$，所以要把密度在三角形中滿足 $x\le\tfrac12$ 且 $y\le\tfrac14$ 的那一塊積起來。這塊區域同樣要分割，分界在 $x=\tfrac14$：

   $F=\int_{0}^{1/4}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx+\int_{1/4}^{1/2}\!\!\int_{0}^{1/4}f\,dy\,dx=\frac{7}{64}+\frac{3}{16}=\frac{7+12}{64}=\frac{19}{64}$

6. 6

   完全不必積分就能算出 F(1/2, −1)。 支撐集要求 $y\ge 0$，所以事件 $\{Y\le -1\}$ 不可能發生：

   $F\left(\tfrac12,-1\right)=0$

   $\boxed{A=2,\quad P\{2X-Y<1\}=\tfrac{7}{12},\quad F\left(\tfrac12,\tfrac14\right)=\tfrac{19}{64},\quad F\left(\tfrac12,-1\right)=0}$

7. 7

   檢查這三個數字是否合理。 三個值都落在 $[0,1]$ 之中 ✓。因為 $F(u,v)$ 對每個引數都是非遞減的，$F\left(\tfrac12,\tfrac14\right)=0.297$ 必須不超過 $P\{X\le\tfrac12\}$；積分得 $P\{X\le\tfrac12\}=\tfrac38=0.375$ ✓。而 $P\{2X-Y<1\}=0.583$ 大於 $0.375$，本來就該如此，因為該事件整個包含了 $\{X\le\tfrac12\}$。