一份調查把快樂程度（不太快樂、還算快樂、非常快樂）與家庭收入（高於平均、平均、低於平均）交叉列表，各列次數為 58/278/117 共 453、59/285/101 共 445、66/294/140 共 500。指出解釋變數與反應變數，再求出各收入層的快樂條件比例並加以解讀。

Step-by-step solution

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   先決定哪個變數解釋哪個。 題目關心的是「快樂程度是否隨收入層而變」— 快樂是可能改變的那一方，收入是可能造成改變的那一方。所以收入是解釋變數，快樂是反應變數。 這個選擇不是隨手記帳而已：它決定了百分比要往哪個方向算。

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   依解釋變數指定的方向取條件。 因為收入是解釋變數，而它標示的是各列，所以要把每個次數除以它所在那一列的總數。這回答的是「在這個收入層的人當中，非常快樂的佔多少比例？」若改除以行總數，回答的會是另一個較不相干的問題。

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   算出高於平均收入這一列（總數 453）。

   $\frac{58}{453}=12.8\%,\qquad \frac{278}{453}=61.4\%,\qquad \frac{117}{453}=25.8\%.$

   三者加起來是 $100\%$，這正是條件取對了的檢驗。

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   算出另外兩列。 平均收入（總數 $445$）：

   $\frac{59}{445}=13.3\%,\qquad \frac{285}{445}=64.0\%,\qquad \frac{101}{445}=22.7\%.$

   低於平均收入（總數 $500$）：

   $\frac{66}{500}=13.2\%,\qquad \frac{294}{500}=58.8\%,\qquad \frac{140}{500}=28.0\%.$

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   比較各列來判斷關聯性。 沿著每一行往下讀。「不太快樂」幾乎不動：$12.8\%$、$13.3\%$、$13.2\%$。「非常快樂」變動略大一些：$25.8\%$、$22.7\%$、$28.0\%$ — 而且與一般預期相反，低於平均收入這一組的比例最高。

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   寫出解讀。 若收入與快樂互相獨立，每一列都應該與整體的 $13.1\%$ / $61.3\%$ / $25.6\%$ 一致。實際上各列與它只差幾個百分點，方向也不一致，所以在這份樣本裡收入層與快樂之間的關聯性是微弱的。在 $1398$ 這樣的樣本量下，這麼小的差異要先經過正式的卡方檢定確認，才能說它是真的。