一個箱子裡有 6 顆紅球與 6 顆藍球。不放回地隨機抽出六顆球。至少有一顆是藍球的機率是多少？

Step-by-step solution

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   一開始就改用補事件。「至少一顆藍」需要處理恰好 $1,2,3,4,5,6$ 顆藍的情形 — 要數六次。它的補事件只有一種情形：零顆藍。所以用

   $P(\text{至少一顆藍})=1-P(\text{沒有藍球})$

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   數出樣本空間。 共有 $6+6=12$ 顆球，而且抽取不計順序，所以六顆球的抽法數為

   $\binom{12}{6}=\frac{12!}{6!\,6!}=924$

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   數出補事件的有利情形。「沒有藍球」表示抽到的六顆全是紅球 — 而紅球恰好只有 $6$ 顆，所以唯一的方式就是把紅球全部拿走：

   $\binom{6}{6}=1$

   這正是答案這麼接近 $1$ 的原因：$924$ 種抽法裡只有一種是「壞」的。

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   組出機率。

   $P(\text{沒有藍球})=\frac{1}{924},\qquad P(\text{至少一顆藍})=1-\frac{1}{924}=\frac{923}{924}$

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   換成小數並做合理性檢查。 $\dfrac{923}{924}=0.998918\ldots\approx99.89\%$。這是可信的：拿走半箱球卻剛好避開全部六顆藍球，只能靠那唯一一次「純紅」的抽法，所以幾乎必然發生正是該預期的結果 ✓。

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   用直接加總交叉檢查。 把藍球 $1$ 到 $6$ 顆的超幾何機率加起來得 $\frac{36+225+400+225+36+1}{924}=\frac{923}{924}$，與補事件的結果吻合 ✓。