A 組資料為 6、10、10、11、11、11、12、12、12、12、12、13、13、13、14、14、18，B 組資料為 6、7、8、9、10、11、11、12、12、12、13、13、14、15、16、17、18。兩組平均數都是 12。哪一組的變異比較大？

Step-by-step solution

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   先看兩組資料的共通之處。 兩組都有 $n = 17$ 筆資料、總和都是 $204$，所以平均數都恰為 $12$；而且兩組都從 $6$ 排到 $18$ — 平均數與全距都一模一樣。這兩個量都分不開它們，正因如此才需要標準差。

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   算 A 組的偏差平方和。 對 $12$ 的偏差大多是 $0$ 或 $\pm 1$，另外有兩個極端值落在 $\pm 6$：

   $\sum (x-12)^2 = 36 + 2(4) + 3(1) + 0 + 3(1) + 2(4) + 36 = 94$

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   算 B 組的偏差平方和。 這裡的數值從 $6$ 到 $18$ 均勻遞增，所以偏差依序是 $-6, -5, -4, -3, -2, -1, -1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6$：

   $\sum (x-12)^2 = 2(36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1) + 1 + 1 = 184$

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   兩組都換算成母體標準差。 兩組的除數同樣是 $n = 17$：

   $\sigma_A = \sqrt{\frac{94}{17}} = \sqrt{5.5294} \approx 2.35, \qquad \sigma_B = \sqrt{\frac{184}{17}} = \sqrt{10.8235} \approx 3.29$

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   比較並解釋差異的來源。 因為 $3.29 > 2.35$，所以B 組的變異比較大。從結構上看，A 組把大部分資料堆在 $11$–$13$ 之間，只有兩個孤立的極端值；B 組則把數值均勻地攤在整個範圍上 — 因此即使兩組的平均數、筆數與全距都相同，B 組一個典型的數值離 $12$ 仍比 A 組遠得多。