對資料點 (10, 2.9)、(20, 4.0) 與 (30, 4.9) 求二次迴歸方程式，並計算判定係數 R 平方，並寫出推導過程。

Step-by-step solution

1. 1

   先看出根本用不到最小平方法那一套機器。 二次式有三個自由參數 $a$、$b$、$c$，而資料點恰好有三個。$x$ 值相異的三個點決定唯一一條拋物線，所以最小平方配適就是那條內插拋物線：殘差平方和的最小可能值是 $0$，而且真的達得到。這就是為什麼整題可以化約成解一個 $3\times3$ 的線性方程組。

2. 2

   把每個點代入 $y=ax^2+bx+c$。

   $100a+10b+c=2.9\qquad(1)$

   $400a+20b+c=4.0\qquad(2)$

   $900a+30b+c=4.9\qquad(3)$

3. 3

   相鄰兩式相減消去 $c$。 因為 $c$ 的係數在三式中都相同，相減立刻把它消掉：

   $(2)-(1):\quad300a+10b=1.1\;\Longrightarrow\;30a+b=0.11\qquad(A)$

   $(3)-(2):\quad500a+10b=0.9\;\Longrightarrow\;50a+b=0.09\qquad(B)$

4. 4

   再減一次求出 $a$，然後回代。

   $(B)-(A):\quad20a=-0.02\;\Longrightarrow\;a=-0.001$

   $\text{from }(A):\;30(-0.001)+b=0.11\;\Longrightarrow\;b=0.14$

   $\text{from }(1):\;-0.1+1.4+c=2.9\;\Longrightarrow\;c=1.6$

   迴歸方程式為

   $y=-0.001x^2+0.14x+1.6$

   連減兩次其實就是資料的二階差分（每隔 $10$ 是 $0.9-1.1=-0.2$），這也解釋了 $a$ 為什麼是負的：增量正在縮小，所以曲線向下彎。

5. 5

   算出配適值與殘差平方和。

   $\hat y(10)=-0.1+1.4+1.6=2.9,\quad \hat y(20)=-0.4+2.8+1.6=4.0,\quad \hat y(30)=-0.9+4.2+1.6=4.9$

   每個配適值都等於觀測值，所以

   $SS_{\text{res}}=\sum(y_i-\hat y_i)^2=0$

6. 6

   收尾算 $R^2$ —— 順便確認分母不是零。 由 $\bar y=\frac{2.9+4.0+4.9}{3}=3.9333$，

   $SS_{\text{tot}}=\sum(y_i-\bar y)^2=(-1.0333)^2+(0.0667)^2+(0.9667)^2=2.0067\neq0$

   所以 $R^2$ 有定義，且

   $R^2=1-\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}=1-\frac{0}{2.0067}=1$

7. 7

   用適當的懷疑態度解讀結果。 這裡的 $R^2=1$ 是結構上的必然，不是二次模型好的證據。任何三個點（不論多雜訊）配二次式都會得到 $R^2=1$，就像任何兩個點配直線都會得到 $R^2=1$ 一樣。要知道模型好不好，資料點必須多於參數個數 —— $n=3$ 配 $3$ 個參數時殘差自由度是零，調整後 $R^2$ 也沒有定義。