求 0.645、0.656、0.652 的標準差。

Step-by-step solution

1. 1

   算平均數。 相加後除以 $3$：

   $\bar x=\frac{0.645+0.656+0.652}{3}=\frac{1.953}{3}=0.651$

   平均數剛好整除，這讓各偏差很好讀。

2. 2

   求對平均數的偏差。

   $0.645-0.651=-0.006,\qquad 0.656-0.651=0.005,\qquad 0.652-0.651=0.001$

   它們的和是 $-0.006+0.005+0.001=0$，這永遠成立，是對平均數的免費檢查。

3. 3

   平方後相加。

   $(-0.006)^2=3.6\times 10^{-5},\quad (0.005)^2=2.5\times 10^{-5},\quad (0.001)^2=1\times 10^{-6}$

   $\sum\left(x_i-\bar x\right)^2=6.2\times 10^{-5}$

4. 4

   相除 — 而且要挑對分母。 這正是會改變答案的抉擇。若把三筆量測視為樣本，就除以 $n-1=2$；若視為整個母體，就除以 $n=3$：

   $s^2=\frac{6.2\times 10^{-5}}{2}=3.1\times 10^{-5},\qquad \sigma^2=\frac{6.2\times 10^{-5}}{3}=2.0667\times 10^{-5}$

   $n$ 這麼小的時候，兩者差距很明顯 — 標準差相差約 $22\%$。

5. 5

   開平方根並解讀。

   $s=\sqrt{3.1\times 10^{-5}}\approx 0.005568,\qquad \sigma=\sqrt{2.0667\times 10^{-5}}\approx 0.004546$

   對同一個量重複三次量測，一般視為樣本，所以通常要報的是 $s\approx 0.00557$。作為合理性檢查，資料的全距是 $0.656-0.645=0.011$，而標準差約為全距的一半，在 $n=3$ 時很典型 $\checkmark$。