連續型隨機變數 X 的密度函數為：0 < x ≤ 1 時 f(x) = x，1 ≤ x < 2 時 f(x) = 2 − x，其餘為 0。求 E(X) 與 Var(X)。

Step-by-step solution

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   先確認 $f$ 真的是密度函數。 合法的機率密度函數必須非負且積分為 $1$：

   $\int_0^1x\,dx+\int_1^2(2-x)\,dx=\frac12+\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_1^2=\frac12+\left(2-\frac32\right)=\frac12+\frac12=1$

   從幾何上看，這是底為 $2$、高為 $1$ 的三角形，面積 $\frac12\cdot2\cdot1=1$。先做這個確認，是防止抄錯某一段的廉價保險。

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   分段計算 $E(X)$。 因為密度分成兩段定義，期望值的積分要在 $x=1$ 處拆開：

   $E(X)=\int_0^1x\cdot x\,dx+\int_1^2x(2-x)\,dx=\int_0^1x^{2}dx+\int_1^2\left(2x-x^{2}\right)dx$

   $=\frac13+\left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_1^2=\frac13+\left(\frac43-\frac23\right)=\frac13+\frac23=1$

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   注意本來可以走的捷徑。 這個三角形對 $x=1$ 對稱：對 $0\le u\le1$ 有 $f(1-u)=1-u$ 且 $f(1+u)=1-u$。任何對某點對稱的密度，平均數就是那一點，所以完全不用積分就知道 $E(X)=1$。上面的積分於是只是一次驗算。

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   計算 $E(X^{2})$，這是對稱性給不了的。

   $E(X^{2})=\int_0^1x^{3}dx+\int_1^2x^{2}(2-x)\,dx=\frac14+\left[\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right]_1^2$

   中括號在 $2$ 處的值為 $\frac{16}{3}-4=\frac43$，在 $1$ 處為 $\frac23-\frac14=\frac{5}{12}$。所以第二個積分是 $\frac43-\frac{5}{12}=\frac{11}{12}$，於是

   $E(X^{2})=\frac14+\frac{11}{12}=\frac{3}{12}+\frac{11}{12}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}$

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   套用變異數的簡便公式。

   $D(X)=E(X^{2})-\left[E(X)\right]^{2}=\frac76-1^{2}=\frac{7}{6}-\frac{6}{6}=\frac16\approx0.1667$

   標準差為 $\sqrt{1/6}=0.408$。

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   檢查答案是否合理。 所有機率都集中在長度為 $2$ 的區間 $(0,2)$ 上，所以標準差必然遠小於 $1$；$0.408$ 很合理。它也小於 $(0,2)$ 上均勻分布的 $0.577$，這完全正確 —— 三角形密度把質量集中在中央，而不是平均攤開。