作答完成時間服從平均 58 分鐘、標準差 12 分鐘的常態分布。到第幾分鐘時已有 90% 的學生完成作答？

Step-by-step solution

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   認出這是反查常態的題型。 題目給的是機率、要求的是數值 —— 和平常「求機率」的方向剛好相反。用符號寫，就是找出滿足下式的 $x$：

   $P(X \le x) = 0.90, \qquad X \sim N(\mu = 58,\ \sigma = 12)$

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   查出第 90 百分位數對應的 $z$ 分數。 由標準常態表或計算機，

   $z_{0.90} \approx 1.2816$

   （許多課本會四捨五入成 $1.28$；這個差異會讓最後答案偏移約 $0.02$ 分鐘。）

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   把 $z$ 分數換回原本的單位。 把 $z = \frac{x-\mu}{\sigma}$ 移項得

   $x = \mu + z\sigma$

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   代入求值。

   $x = 58 + 1.2816 \times 12 = 58 + 15.38 = 73.38 \text{ minutes}$

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   檢查方向是否正確。 第 90 百分位數必須在平均數之上，結果確實如此 —— 大約高出 $1.28$ 個標準差。如果你算出來的答案小於 $58$，那就是誤用了 $-z$。