一組 N = 8 的分數有 ΣX = 48、ΣX² = 351。以假設平均數 9.00 檢定這組分數，會得到什麼 t 值？

Step-by-step solution

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   寫下單樣本 $t$ 的公式。

   $t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{N}}$

   需要的每一項都可以從 $N$、$\sum X$ 與 $\sum X^2$ 還原出來 — 完全用不到原始分數。

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   平均數與平方和。

   $\bar{X} = \frac{48}{8} = 6.00, \qquad SS = \sum X^2 - \frac{\left(\sum X\right)^2}{N} = 351 - \frac{2304}{8} = 63$

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   標準差與標準誤。 分母用 $N-1 = 7$：

   $s^2 = \frac{63}{7} = 9, \quad s = 3, \quad s_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{N}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2.828427} = 1.060660$

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   算出 $t$，並保留正負號。 樣本平均數 $6$ 低於假設的 $9$，所以 $t$ 必定是負的 — 這裡若得到正值，就代表把負號弄丟了：

   $t = \frac{6.00 - 9.00}{1.060660} = \frac{-3}{1.060660} = -2.8284 \approx -2.83$

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   與幾個可能的錯誤答案比對。 $-8.00$ 出自把平均數之差除成 $s^2/\ldots$ 那一類的失誤；$-2.65$ 要 $s_{\bar X} = 1.132$ 才會成立；$3.02$ 則是正負號與大小都不對。另外注意精確值：$\dfrac{3}{3/\sqrt{8}} = \sqrt{8} = 2.8284$，所以 $t = -\sqrt{8}$ 恰好成立。

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   解讀。 在 $df = N - 1 = 7$ 之下，$\alpha = 0.05$ 的雙尾臨界值是 $2.365$。因為 $|-2.83| > 2.365$，樣本平均數 $6.00$ 在 $5\%$ 水準下與 $9.00$ 有顯著差異。