十五位受試者在訓練計畫前後各量一次體重。訓練前（公斤）：55.60、56.80、64.80、100.50、72.10、100.40、73.80、77.70、64.00、108.60、76.00、77.00、84.75、67.85、87.24。訓練後（公斤）：54.20、55.30、62.10、100.30、71.40、98.70、71.10、73.00、63.10、104.80、72.45、69.00、88.78、70.24、88.57。求兩組的平均數與樣本標準差。

Step-by-step solution

1. 1

   把每一欄加總後除以 n = 15。 兩個總和分別是 $1167.14$ 公斤與 $1143.04$ 公斤，所以

   $\bar x_{\text{訓練前}}=\frac{1167.14}{15}=77.809\ \text{公斤},\qquad \bar x_{\text{訓練後}}=\frac{1143.04}{15}=76.203\ \text{公斤}$

2. 2

   選用樣本的公式。 這十五個人是一份樣本，所以偏差平方和要除以 $n-1=14$：

   $s=\sqrt{\frac{\sum\left(x_i-\bar x\right)^{2}}{n-1}}$

   若改除以 $n$ 會低估離散程度 — 這是這類表格的整理稿裡最常見的錯誤。

3. 3

   算訓練前那一組的離散程度。 偏差平方從 $(55.60-77.809)^2=493.3$ 到 $(108.60-77.809)^2=948.1$ 不等，總和為

   $\sum\left(x_i-\bar x\right)^{2}=3556.77$

   所以

   $s_{\text{訓練前}}=\sqrt{\frac{3556.77}{14}}=\sqrt{254.055}=15.939\ \text{公斤}$

4. 4

   算訓練後那一組的離散程度。 這裡 $\sum\left(x_i-\bar x\right)^{2}=3668.24$，所以

   $s_{\text{訓練後}}=\sqrt{\frac{3668.24}{14}}=\sqrt{262.017}=16.187\ \text{公斤}$

5. 5

   列出這四個數字。

   $\boxed{\text{訓練前：}\bar x=77.81\ \text{公斤},\ s=15.94\ \text{公斤};\qquad \text{訓練後：}\bar x=76.20\ \text{公斤},\ s=16.19\ \text{公斤}}$

6. 6

   解讀，並說明這些數字看不出什麼。 平均數下降了 $1.61$ 公斤，離散程度卻略為上升，所以這群人並沒有變得更整齊。更關鍵的是，這些只是描述性統計量：由於量測是成對的（同一批人量了兩次），要判斷這 $1.61$ 公斤的降幅是否具統計顯著性，必須對十五個差值做成對 $t$ 檢定，而不是比較這兩個標準差。