五成的消費者偏好在網路上購買電子產品。隨機選出八位消費者，求偏好網購的人數 (a) 恰好五位、(b) 多於五位、(c) 至多五位的機率。

Step-by-step solution

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   建立二項模型並善用 p = 0.5。 此處 $X\sim B(8,0.5)$，且

   $P(X=k)=\binom{8}{k}(0.5)^{k}(0.5)^{8-k}=\frac{\binom{8}{k}}{2^{8}}=\frac{\binom{8}{k}}{256}.$

   因為 $p=0.5$，$p$ 與 $1-p$ 的次方合併成單一的 $2^{-8}$，所以每個機率都只是一個二項式係數除以 $256$。

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   寫下會用到的係數。 巴斯卡三角形的第 $8$ 列是

   $1,\ 8,\ 28,\ 56,\ 70,\ 56,\ 28,\ 8,\ 1,$

   總和必為 $256$。

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   (a) 恰好五位。

   $P(5)=\frac{\binom{8}{5}}{256}=\frac{56}{256}=0.21875\approx 0.219.$

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   (b) 多於五位。「多於五位」不含五本身，所以要加 $k=6,7,8$ 三項：

   $P(X>5)=\frac{28+8+1}{256}=\frac{37}{256}=0.14453\approx 0.145.$

   界線的用字很關鍵：若把 $k=5$ 也算進來，得到的會是 $0.363$。

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   (c) 至多五位，用補事件。「至多五位」就是「多於五位」以外的全部，因此不必再算新的和：

   $P(X\le 5)=1-P(X>5)=1-\frac{37}{256}=\frac{219}{256}=0.85547\approx 0.855.$

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   檢查算術與對稱性。 兩個互補的答案相加為 $0.145+0.855=1.000$ ✓。另外 $p=0.5$ 使分布對平均數 $np=4$ 對稱，所以 $P(X=5)=P(X=3)$ 且 $P(X>5)=P(X<3)$ — 這是快速抓出係數抄錯的好辦法。