一份 1438 戶多代同堂家庭的調查依種族與家戶型態分類。黑人那一列有 114 戶 2 個成人世代、34 戶隔代教養、102 戶 3 代以上，該列總數為 250。隨機選出一戶黑人多代同堂家庭，它是 2 個成人世代家庭的機率為何？四捨五入到小數點後三位。

Step-by-step solution

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   先看清楚「條件」那個詞做了什麼。「隨機選出一戶黑人多代同堂家庭」這句話告訴你，被選中的對象已經確定來自黑人那一列。這就是條件機率 $P(\text{2 個成人世代}\mid\text{黑人})$，而此處最常見的錯誤就是拿總計 $1438$ 去除，而不是拿那一列的總數去除。

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   把樣本空間縮到指定的那一列。 一旦知道這戶是黑人家庭，還可能出現的結果就只剩那 $250$ 戶。這個列總數就是新的分母：

   $P(A\mid B)=\frac{n(A\text{ 且 }B)}{n(B)}$

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   數出那一列裡有利的結果。 黑人這一列與「2 個成人世代」這一行交會的格子是 $114$ 戶，所以 $n(A\text{ 且 }B)=114$。

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   相除並取近似。

   $P(\text{2 個成人世代}\mid\text{黑人})=\frac{114}{250}=0.456$

   這個除法是整除的，不會引入捨入誤差：$\tfrac{114}{250}=\tfrac{57}{125}$。

   $\boxed{0.456}$

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   對照非條件機率做合理性檢查。 若誤用總計去除，會得到 $114/1438\approx 0.079$，是完全不同的數字。另外要注意，黑人那一列的三個條件機率必須加總為 $1$：$\tfrac{114}{250}+\tfrac{34}{250}+\tfrac{102}{250}=\tfrac{250}{250}=1$，這也確認了列總數讀對了。