一顆公正骰子擲四次。用機率空間描述這個實驗，並求 1 至多出現三次的機率。

Step-by-step solution

1. 1

   建立機率空間。 一個結果就是四次點數的有序清單，所以樣本空間是

   $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}^{4},\qquad |\Omega|=6^{4}=1296.$

   骰子公正且各次投擲獨立，所以測度是均勻的：$1296$ 個結果每一個的機率都是 $\tfrac{1}{1296}$。

2. 2

   用補事件改寫這個事件。 令 $X$ 為四次投擲中出現 $1$ 的次數。「至多三次」表示 $X\in\{0,1,2,3\}$ — 四種不同情形。它的補事件只有單一情形 $X=4$：

   $P(X\le 3)=1-P(X=4).$

   只算一項而不是四項，正是這裡採用補事件的全部理由。

3. 3

   數出補事件裡的結果。 $X=4$ 表示每一次都擲出 $1$，這恰好只有一個結果 $(1,1,1,1)$：

   $P(X=4)=\left(\frac{1}{6}\right)^{4}=\frac{1}{1296}.$

4. 4

   相減。

   $P(X\le 3)=1-\frac{1}{1296}=\frac{1295}{1296}\approx 0.99923.$

5. 5

   檢查答案的量級是否合理。 連續四次都擲出 $1$ 非常不可能，所以「至多三次」應該幾乎必然發生 — 而 $0.99923$ 正是如此。作為交叉檢查，二項模型 $X\sim B(4,\tfrac16)$ 給出 $P(X=4)=\binom{4}{4}\left(\tfrac16\right)^4\left(\tfrac56\right)^0=\tfrac{1}{1296}$，值完全相同。