你有 8 顆一樣的糖果與 4 塊一樣的餅乾要分給 3 個小孩（兩男一女）。若 (a) 每個小孩兩種都至少拿到一個、(b) 每個小孩恰好拿到四樣、(c) 女孩拿到的糖果比任一男孩多且兩個男孩拿到的餅乾一樣多，各有幾種分法？

Step-by-step solution

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   先架好工具。 把 $n$ 個相同物品分給 $k$ 個相異的小孩、每人至少拿 $1$ 個，分法數是 $\binom{n-1}{k-1}$；若允許拿零個則是 $\binom{n+k-1}{k-1}$。糖果與餅乾是分開獨立分配的，所以每一小題裡兩個數都要相乘。

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   (a) 每個小孩每一種都至少拿到一個。 糖果的部分是 $\binom{8-1}{2}=\binom72=21$；餅乾的部分是 $\binom{4-1}{2}=\binom32=3$。相乘得

   $21\times 3=63.$

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   (b) 每個小孩恰好拿到四樣。 這裡兩種分配不再獨立 — 餅乾的數量會決定糖果的數量。若第 $i$ 個小孩拿到 $k_i$ 塊餅乾，他就會拿到 $4-k_i$ 顆糖果，而 $\sum k_i=4$ 自動使得糖果數為 $\sum(4-k_i)=12-4=8$。所以只要數出允許為零的餅乾分法就夠了：

   $\binom{4+2}{2}=\binom62=15.$

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   (c) 餅乾部分：兩個男孩必須拿一樣多。 若每個男孩拿 $k$ 塊，女孩就拿 $4-2k$ 塊，這需要 $k\in\{0,1,2\}$ — 共三種可能。

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   (c) 糖果部分：女孩要贏過兩個男孩。 依女孩拿到的數量 $g$ 分類列舉，兩個男孩合計拿 $8-g$ 顆，且各自都少於 $g$：

   $g=4:3,\quad g=5:4,\quad g=6:3,\quad g=7:2,\quad g=8:1,$

   而 $g\le 3$ 不可能，因為那樣兩個男孩合計要拿 $\ge 5$ 顆，卻又各自少於 $3$ 顆。合計得 $3+4+3+2+1=13$ 種糖果分法。

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   合併求出 (c) 並做總結。

   $13\times 3=39.$

   所以三個答案分別是 $\mathbf{63}$、$\mathbf{15}$ 與 $\mathbf{39}$。用電腦對所有分法直接列舉，得到的計數與這三個完全一致。