一組 n = 278 的樣本，樣本平均數為 8.83、樣本標準差為 41.40。請建立母體平均數的 95% 信賴區間。

Step-by-step solution

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   挑對區間公式。 母體標準差 $\sigma$ 未知，是從樣本估計出來的，所以正確的做法是 $t$ 區間

   $\bar x\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt n}$

   自由度為 $n-1=277$。$n=278$ 已經夠大，中央極限定理保證即使原始資料不是常態分布，這個區間仍然有效 —— 這一點在這裡很重要，因為 $s=41.40$ 幾乎是平均數的五倍，強烈暗示這是個高度偏斜的變數。

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   算平均數的標準誤。 它衡量的是 $\bar x$ 本身在不同樣本之間會跳動多少：

   $SE=\frac{s}{\sqrt n}=\frac{41.40}{\sqrt{278}}=\frac{41.40}{16.6733}=2.4830$

   分母的 $\sqrt n$ 就是大樣本有幫助的原因：原始的離散程度 $41.40$ 被縮小了將近 $17$ 倍。

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   查 $95\%$ 信賴水準的臨界值。 $95\%$ 信賴水準對應 $\alpha=0.05$，每一尾各 $0.025$。$df=277$ 時，

   $t_{0.025,\,277}=1.9686$

   這只比常態的 $z_{0.025}=1.9600$ 高一點點，因為自由度到了幾百的 $t$ 分布幾乎與標準常態分不出差別。這裡用 $z$ 當捷徑說得過去，但只要 $\sigma$ 是估計來的，技術上正確的選擇就是 $t$。

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   相乘得到誤差界限。

   $ME=t\cdot SE=1.9686\times2.4830=4.8880$

   只在最後一步四捨五入；先把 $SE$ 捨成 $2.48$ 會讓端點在小數第三位就偏掉。

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   組出區間。

   $\bar x\pm ME=8.83\pm4.888\;\Longrightarrow\;(8.83-4.888,\;8.83+4.888)=(3.942,\;13.718)$

   取兩位小數，$\mu$ 的 $95\%$ 信賴區間為 $(3.94,\;13.72)$。作為對照，用 $z$ 算出的區間是 $(3.96,\;13.70)$ —— 在這個樣本量下兩者只差百分之幾，正如預期。

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   正確地解讀它。 這個敘述講的是程序，不是這一個特定區間：如果重複抽樣很多次，用這個方法建出來的區間有 $95\%$ 會包含真正的母體平均數 $\mu$。說「有 $95\%$ 的個別資料值落在 $(3.94,13.72)$ 裡」是錯的 —— 資料的離散由 $s=41.40$ 決定，大約是這個區間的十七倍寬，而這個區間只描述平均數的不確定性。