從裝有編號 1、2、3 卡片的袋子抽一張、記錄後放回，重複五次。把五個記錄下的數字由大到小排成 a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e。求 b = 3 的機率。

Step-by-step solution

1. 1

   把順序統計量翻譯成計數。 由大到小排序後，$b$ 就是第二大的值。因為 $3$ 是可能出現的最大號碼，$b=3$ 恰好發生在五次抽取中至少有兩次出現 $3$ 的時候。（若只出現一次 $3$，那 $a$ 會是 $3$，但 $b$ 就會是 $2$ 或 $1$。）

   $\{b=3\}=\{X\ge 2\},\qquad X=\#\text{ 出現 }3\text{ 的次數}$

2. 2

   確認 X 的分布。 抽取是放回的，所以 $X\sim\text{Binomial}(n=5,\ p=\tfrac13)$。

3. 3

   改用補事件 — 兩項而不是四項。 與其把 $P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)$ 加起來，不如把兩個小情形減掉：

   $P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

4. 4

   算出要減掉的兩項。

   $P(X=0)=\left(\frac23\right)^{5}=\frac{32}{243},\qquad P(X=1)=\binom51\left(\frac13\right)\left(\frac23\right)^{4}=\frac{80}{243}$

5. 5

   相減。

   $P(b=3)=1-\frac{32}{243}-\frac{80}{243}=\frac{243-112}{243}=\frac{131}{243}\approx 0.539$

   $\boxed{\dfrac{131}{243}}$

6. 6

   拿對應的 b = 1 情形檢查。 用鏡像的論證，$b=1$ 要求至多只有一次抽到 $2$ 或 $3$，得 $\left(\tfrac13\right)^5+5\left(\tfrac23\right)\left(\tfrac13\right)^4=\tfrac{1+10}{243}=\tfrac{11}{243}$。因為 $b$ 必為 $1$、$2$ 或 $3$，剩下的情形是 $P(b=2)=1-\tfrac{131}{243}-\tfrac{11}{243}=\tfrac{101}{243}$，三者加總為 $1$ ✓。