一項調查記錄了 25 位顧客的年齡：20、32、35、28、32、31、30、15、28、12、39、23、43、47、27、26、23、32、36、33、35、42、42、43、47。請用 Tukey 法求第一與第三四分位數，並與排除中位數所得的四分位數比較。

Step-by-step solution

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   先排序 —— 每一種四分位數規則都是關於「位置」的規則，所以順序要先定下來。

   $12,\ 15,\ 20,\ 23,\ 23,\ 26,\ 27,\ 28,\ 28,\ 30,\ 31,\ 32,\ \underline{32},\ 32,\ 33,\ 35,\ 35,\ 36,\ 39,\ 42,\ 42,\ 43,\ 43,\ 47,\ 47$

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   求中位數。 $n=25$（奇數），中位數是唯一的中間值，位於第 $\frac{25+1}{2}=13$ 位：

   $M=32$

   兩種慣例就是在這裡分道揚鑣：中位數是一個真實存在的資料值，所以「它該歸下半、上半、兩邊都算，還是兩邊都不算」確實是個選擇。

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   套用 Tukey 的規則：中位數同時算進兩半。 Tukey 樞紐定義為「含整體中位數」的下半與上半各自的中位數。於是下半是前 $13$ 個值、上半是後 $13$ 個值：

   $\text{lower: } 12,\,15,\,20,\,23,\,23,\,26,\,\underline{27},\,28,\,28,\,30,\,31,\,32,\,32$

   $\text{upper: } 32,\,32,\,33,\,35,\,35,\,36,\,\underline{39},\,42,\,42,\,43,\,43,\,47,\,47$

   每一半的個數都是奇數，所以每個樞紐同樣是單一的中間值 —— $13$ 個裡的第 $7$ 個：

   $Q_1=27,\qquad Q_3=39$

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   與多數計算機、試算表使用的「排除」慣例比較。 把中位數從兩半都拿掉，各邊剩 $12$ 個值，所以每個四分位數都是相鄰兩數的平均：

   $Q_1=\frac{26+27}{2}=26.5,\qquad Q_3=\frac{39+42}{2}=40.5$

   兩組答案都「正確」—— 它們是不同的定義，不是算錯。只有在 $n$ 為奇數時兩者才會不一致，因為那是唯一有資料值恰好落在中位數上的情形。

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   算出兩種規則下的四分位距，並注意其影響。

   $\text{IQR}_{\text{Tukey}}=39-27=12,\qquad \text{IQR}_{\text{exclusive}}=40.5-26.5=14$

   把中位數算進去會把兩個樞紐都往中央拉，所以 Tukey 規則得到的 IQR 永遠相同或更小。凡是建立在 IQR 上的東西 —— 盒鬚圖的鬚、$1.5\,\text{IQR}$ 的離群值界線 —— 都會跟著移動，這就是報告裡必須說明採用哪種慣例的原因。

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   檢查上下界，看看實際後果。 用 Tukey 的值，離群值界線是 $27-1.5(12)=9$ 與 $39+1.5(12)=57$；用排除慣例的值則是 $26.5-1.5(14)=5.5$ 與 $40.5+1.5(14)=61.5$。在這筆資料裡兩種規則都不會把 $25$ 個年齡中的任何一個標成離群值（極端值是 $12$ 與 $47$），所以慣例的選擇並不改變結論 —— 但在尾巴更長的資料裡，它很容易就會改變結論。