求 2.9、2.5、2.9 的標準差。

Step-by-step solution

1. 1

   算平均數，並保留成分數。 三個值當中有兩個相同：

   $\bar x=\frac{2.9+2.5+2.9}{3}=\frac{8.3}{3}=2.7\overline{6}\approx 2.76667$

   因為平均數是循環小數，若在平方之前先四捨五入成 $2.77$，答案會明顯偏掉 — 至少要留五位，或直接用 $\tfrac{83}{30}$ 運算。

2. 2

   求各偏差。

   $2.9-\frac{83}{30}=\frac{87-83}{30}=\frac{4}{30}=0.13\overline{3}\quad(\text{兩次}),\qquad 2.5-\frac{83}{30}=\frac{75-83}{30}=-\frac{8}{30}=-0.26\overline{6}$

   它們的和是 $\tfrac{4+4-8}{30}=0\;\checkmark$。

3. 3

   用分數平方後相加。

   $2\left(\frac{4}{30}\right)^2+\left(\frac{8}{30}\right)^2=\frac{32+64}{900}=\frac{96}{900}=\frac{8}{75}\approx 0.106667$

4. 4

   除以 $n-1$ 或除以 $n$。

   $s^2=\frac{8/75}{2}=\frac{4}{75}\approx 0.053333,\qquad \sigma^2=\frac{8/75}{3}=\frac{8}{225}\approx 0.035556$

5. 5

   開平方根。

   $s=\sqrt{\frac{4}{75}}=\frac{2}{\sqrt{75}}\approx 0.23094,\qquad \sigma=\sqrt{\frac{8}{225}}=\frac{2\sqrt2}{15}\approx 0.18856$

   若視為樣本就報 $s\approx 0.231$，若是完整母體就報 $\sigma\approx 0.189$。作為檢查，全距是 $2.9-2.5=0.4$，而兩個值都明顯小於它 $\checkmark$。