十五位低談數家長的孩子得分為 2,1,2,3,4,3,3,2,2,1,5,3,4,1,2，十五位高談數家長的孩子得分為 3,4,5,4,5,4,2,3,5,4,5,3,4,5,4。請完成兩組中分數 1 到 5 的次數分配表。

Step-by-step solution

1. 1

   用固定的順序畫記。 先列出可能的分數 $1$ 到 $5$，然後把資料只掃過一遍，逐一標記每個值。若改成逐個分數處理（把清單掃五次），通常就是這樣才會把某個值數兩次或漏掉。

2. 2

   低談數組畫記。 依序走過 $2,1,2,3,4,3,3,2,2,1,5,3,4,1,2$：

   $X=1$ 出現在第 $2$、$10$、$14$ 個位置 → $3$ 次

   $X=2$ 出現在第 $1,3,8,9,15$ 個位置 → $5$ 次

   $X=3$ 出現在第 $4,6,7,12$ 個位置 → $4$ 次

   $X=4$ 出現在第 $5,13$ 個位置 → $2$ 次

   $X=5$ 出現在第 $11$ 個位置 → $1$ 次

3. 3

   高談數組畫記。 依序走過 $3,4,5,4,5,4,2,3,5,4,5,3,4,5,4$：

   $X=1$ → $0$ 次；$X=2$ → $1$ 次；$X=3$ → $3$ 次；$X=4$ → $6$ 次；$X=5$ → $5$ 次。

4. 4

   組出表格。

   $X$	$f_{\text{低}}$	$f_{\text{高}}$
   5	1	5
   4	2	6
   3	4	3
   2	5	1
   1	3	0
   總計	15	15

5. 5

   拿 n 來檢查兩欄。 $1+2+4+5+3=15$ ✓ 且 $5+6+3+1+0=15$ ✓。這個總和是關鍵的檢查：坊間流傳的一個版本把低談數那一欄寫成 $1,2,3,5,4$，它同樣合計為 $15$，卻把 $X=1$ 與 $X=3$ 的次數對調了 — 只有重新畫記才抓得到，光看總和抓不出來。

   $\boxed{f_{\text{低}}:\ 3,5,4,2,1\ \ (X=1\ldots5);\qquad f_{\text{高}}:\ 0,1,3,6,5}$

6. 6

   讀出這張表要做的比較。 低談數組堆在分數 $1$–$2$（十五位中有八位），高談數組則堆在 $4$–$5$（十五位中有十一位），所以兩個分布是整體平移了，而不只是離散程度不同 — 這正是原始研究要指出的重點。