在一種剪刀石頭布的變體中，用布贏得 5 分、用石頭贏得 1 分、用剪刀贏得 2 分，輸家得對應的負分。玩家該採取什麼混合策略？這個賽局的值是多少？

Step-by-step solution

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   先寫出報酬矩陣。 設列玩家分別以機率 $p$、$q$、$r$ 出石頭、布、剪刀，其中 $p+q+r=1$ 且三者都非負。布贏石頭（$+5$）、石頭贏剪刀（$+1$）、剪刀贏布（$+2$），輸的一方則得對應的負分。這個賽局是零和且對稱的 — 兩位玩家面對同一個矩陣 — 光這一點就告訴我們它的值必定是 $0$。

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   算出列玩家面對每一種純策略回應時的期望報酬。

   $E_{\text{石頭}}=0\cdot p+5q-1\cdot r=5q-r,$
   $E_{\text{布}}=-5p+0\cdot q+2r=-5p+2r,$
   $E_{\text{剪刀}}=1\cdot p-2q+0\cdot r=p-2q.$

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   加上「使對手無差異」的條件。 在混合均衡下，對手對三種回應必須無所偏好，否則他就會改出最好的那一種來佔我們便宜。所以

   $5q-r=-5p+2r=p-2q=v,$

   再加上 $p+q+r=1$。這個「讓對手無差異」的原則，就是整套方法的全部。

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   解這個線性方程組。 由 $5q-r=p-2q$ 得 $p=7q-r$。代入 $p+q+r=1$：

   $(7q-r)+q+r=8q=1\;\Longrightarrow\;q=\tfrac18.$

   由 $5q-r=-5p+2r$ 得 $5p+5q=3r$；配上 $p=\tfrac78-r$ 就變成 $\tfrac{35}{8}-5r+\tfrac58=3r$，所以 $8r=5$、$r=\tfrac58$，於是 $p=\tfrac78-\tfrac58=\tfrac14.$

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   讀出賽局的值並驗證。 代入三個式子中的任何一個都得 $v=p-2q=\tfrac14-\tfrac14=0$。三個一起檢查：$5q-r=\tfrac58-\tfrac58=0$ ✓、$-5p+2r=-\tfrac54+\tfrac54=0$ ✓、$p-2q=0$ ✓，而且 $p+q+r=\tfrac28+\tfrac18+\tfrac58=1$ ✓。值為 $0$ 這一點，確認了步驟 1 的對稱性論證。

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   解讀這組權重。 剪刀出得最多（$\tfrac58$），儘管用它獲勝只得 $2$ 分 — 因為剪刀正是布的剋星，而布是對手報酬最高的武器，必須加以壓制。得分最高的布反而出得最少（$\tfrac18$）。在這類均衡化的賽局裡，一手棋出現的機率反映的是「對手的最佳選項需要被壓制到什麼程度」，而不是這一手本身值多少分。