設 X 服從平均數 55、標準差 10 的常態分布，求 P(X < 40.851)。

Step-by-step solution

1. 1

   把數值標準化成 $z$ 分數。 $z$ 分數衡量的是這個值離平均數有幾個標準差：

   $z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{40.851-55}{10}=\frac{-14.149}{10}=-1.4149$

   負號表示 $40.851$ 在平均數以下，所以機率必定小於 $0.5$ — 這是對最終答案的即時檢查。

2. 2

   把問題翻譯成標準常態的面積。 因為標準化不會改變機率，

   $P(X<40.851)=P(Z<-1.4149)=\Phi(-1.4149)$

   其中 $\Phi$ 是標準常態的累積分布函數。

3. 3

   求出累積機率。 用誤差函數，$\Phi(z)=\tfrac12\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt2}\right)\right]$：

   $\Phi(-1.4149)=0.078549$

   若查印刷表格，要在 $\Phi(-1.41)=0.0793$ 與 $\Phi(-1.42)=0.0778$ 之間內插，得 $0.0793-0.49(0.0015)=0.07857$ — 與精確值很接近，差距來自表格的捨入。

4. 4

   寫出答案。

   $P(X<40.851)\approx 0.0785\quad\text{（約 }7.85\%\text{）}$

5. 5

   檢查結果是否合理。 $z$ 為 $-1.41$ 恰好落在「下端 $5\%$」的經典切點 $-1.645$ 內側，又在「下端 $10\%$」的切點 $-1.28$ 外側，所以尾端面積必須介於 $5\%$ 與 $10\%$ 之間 — 而 $7.85\%$ 確實如此 $\checkmark$。由對稱性，$P(X>69.149)$ 的值完全相同。