某數學班有一半的學生成就測驗考 92 分，除了少數幾位考 54 分之外，其餘學生考 73 分。關於這個分布，下列敘述何者正確？

Step-by-step solution

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   先引入人數符號。 令班級人數 $N$ 為偶數：$\tfrac{N}{2}$ 位學生考 $92$ 分，$k \ge 1$ 位考 $54$ 分，$\tfrac{N}{2} - k$ 位考 $73$ 分。把「少數幾位」當成未知數 $k$ 處理，可以讓論證對這個詞的每一種解讀都成立。

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   求中位數。 由小到大排列，前 $k$ 個值是 $54$，接下來 $\tfrac{N}{2} - k$ 個是 $73$，最上面 $\tfrac{N}{2}$ 個是 $92$。因此第 $\tfrac{N}{2}$ 個位置是 $73$，第 $\tfrac{N}{2}+1$ 個位置是 $92$，所以

   $\text{中位數} = \frac{73 + 92}{2} = 82.5$

   一樣與 $k$ 無關。

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   計算平均數。

   $\text{平均數} = \frac{92\cdot\tfrac{N}{2} + 54k + 73\left(\tfrac{N}{2} - k\right)}{N} = \frac{82.5N - 19k}{N} = 82.5 - \frac{19k}{N}$

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   比較兩者。 當 $k \ge 1$ 時，修正項 $-\tfrac{19k}{N}$ 嚴格為負：

   $\text{平均數} = 82.5 - \frac{19k}{N} < 82.5 = \text{中位數}$

   這個分布是左偏的 — 一小段遠低於主體的尾巴把平均數往下拉，卻沒有移動中位數。選項 C 正確。

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   檢查其他選項。 B 錯，因為平均數嚴格低於 $82.5$。D 把不等號寫反了。A 也錯：眾數是 $92$（半個班），而平均數至多是 $82.5$，所以平均數小於眾數，不是大於。

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   用數字驗證。 $N = 20$、$k = 3$：十個 $92$、三個 $54$、七個 $73$，平均數 $\tfrac{920 + 162 + 511}{20} = 79.65$，中位數 $82.5$。$N = 100$、$k = 7$：平均數 $81.17$，中位數 $82.5$。兩者都與 $82.5 - \tfrac{19k}{N}$ 一致。