五成的消費者偏好在網路上購買電子產品。隨機選出 8 位消費者，求偏好網購的人數 (a) 恰好五位、(b) 多於五位、(c) 至多五位的機率。

Step-by-step solution

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   判別是哪一種分布。 八位彼此獨立的消費者，每位不是偏好網購就是不偏好，機率固定為 $p = 0.5$：這就是 $n = 8$、$p = 0.5$ 的二項分布。恰好 $k$ 位成功的機率為

   $P(k) = \binom{8}{k}(0.5)^k(0.5)^{8-k} = \binom{8}{k}\frac{1}{256}$

   因為 $p = 0.5$，兩個次方合併成單一常數 $\tfrac{1}{2^8} = \tfrac{1}{256}$，整題於是化約成純粹的計數。

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   (a) 恰好五位。 $\binom{8}{5} = \dfrac{8!}{5!\,3!} = 56$，所以

   $P(5) = \frac{56}{256} = 0.21875 \approx 0.219$

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   (b) 多於五位。「多於五位」指的是 $6$、$7$ 或 $8$，因此要加三項。$\binom{8}{6} = 28$、$\binom{8}{7} = 8$、$\binom{8}{8} = 1$：

   $P(X > 5) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256} = 0.144531 \approx 0.145$

   注意 $X > 5$ 不包含 $5$ — 誤算進去會多加 $0.219$。

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   (c) 至多五位，改用補事件。「至多五位」指 $X \le 5$，也就是除了 $X > 5$ 以外的全部：

   $P(X \le 5) = 1 - P(X > 5) = 1 - \frac{37}{256} = \frac{219}{256} = 0.855469 \approx 0.855$

   這比把 $k = 0,\ldots,5$ 六項逐一相加快得多。

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   檢查各部分是否彼此相容。 把全部 $2^8$ 種結果加起來：$\binom{8}{0}+\cdots+\binom{8}{8} = 256$，所以機率總和恰為 $1$ ✓。另外 $P(X \le 5) + P(X > 5) = \tfrac{219}{256} + \tfrac{37}{256} = 1$ ✓，而 $\tfrac{219}{256}$ 也已用直接加總 $1+8+28+56+70+56 = 219$ 確認過。

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   檢查分布的形狀是否合理。 $p = 0.5$ 時分布對平均數 $np = 4$ 左右對稱，所以 $P(5)$ 應該等於 $P(3)$：確實 $\binom{8}{3} = 56$ 也一樣 ✓。而且超過一半的機率質量落在 $4$ 及其以下，因此 $P(X \le 5)$ 得到 $0.855$ 這樣的大小完全合理。