15 位受試者在訓練計畫前後各測一次 BMI。前測：19.24、20.50、23.00、31.90、22.00、34.30、25.80、23.70、20.10、32.40、25.10、25.00、27.67、23.48、28.49。後測：18.50、19.50、21.90、27.00、21.70、33.70、24.80、22.50、19.80、31.20、23.93、23.00、28.99、24.30、28.92。請在 5% 水準下檢定該計畫是否改變了平均 BMI。

Step-by-step solution

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   先認清這兩欄不是獨立樣本。 每一列都是同一個人量了兩次，所以「前」與「後」的數字是成對連動的。用兩樣本 $t$ 檢定會把它們當成 $30$ 筆互不相干的觀測值，然後被巨大的個體間差異淹沒（這裡 BMI 從 $19$ 到 $34$ 都有）。改用這 $15$ 個差值可以把每個人的基線消掉，只留下計畫本身的效果，這就是成對檢定靈敏得多的原因。

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   造出差值 $d_i=\text{before}-\text{after}$。

   $0.74,\;1.00,\;1.10,\;4.90,\;0.30,\;0.60,\;1.00,\;1.20,\;0.30,\;1.20,\;1.17,\;2.00,\;-1.32,\;-0.82,\;-0.43$

   十五個裡有十二個是正的（BMI 下降），三個是負的。假設是針對差值的平均數 $\mu_d$ 陳述的：

   $H_0:\mu_d=0,\qquad H_1:\mu_d\neq 0$

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   算差值的平均數與標準差。 差值總和為 $382.68-369.74=12.94$，所以

   $\bar d=\frac{12.94}{15}=0.8627$

   $s_d=\sqrt{\frac{\sum (d_i-\bar d)^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{27.9933}{14}}=1.4140$

   分母要用 $n-1=14$ 而不是 $n$：樣本平均數已經配適過資料，所以只有 $14$ 個離差是可以自由變動的。

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   把差值平均數換成 $t$ 統計量。 $\bar d$ 的標準誤是

   $s_{\bar d}=\frac{s_d}{\sqrt n}=\frac{1.4140}{\sqrt{15}}=0.3651$

   $t=\frac{\bar d-0}{s_{\bar d}}=\frac{0.8627}{0.3651}=2.363$

   自由度 $df=n-1=14$。這個統計量講的就是「觀察到的下降量離零有幾個標準誤」。

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   與臨界值比較，並讀出 $p$ 值。 在 $\alpha=0.05$、自由度 $14$ 的雙尾檢定下，臨界值為 $t^{*}=2.145$。

   $|t|=2.363>2.145$

   對應的雙尾 $p$ 值為 $p\approx 0.033$，低於 $0.05$。拒絕 $H_0$：平均 BMI 的改變達到統計顯著。

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   再報告信賴區間，因為單看 $p$ 值會把效果的大小藏起來。

   $\bar d\pm t^{*}s_{\bar d}=0.8627\pm 2.145(0.3651)=0.8627\pm 0.7832$

   $95\%\text{ CI for }\mu_d:\;(0.0795,\;1.6458)$

   這個區間不含 $0$，結論與檢定一致。但它同時也顯示下降量有可能小到只有 $0.08$ 個 BMI 單位 —— 統計上偵測得到，在下限這一端卻幾乎沒有臨床意義。另外要注意，單一組別前後各量一次並沒有對照組，所以這個改變不能單獨歸因於訓練計畫。