某數學班有一半的學生成就測驗考 78 分，除了少數幾位考 55 分之外，其餘學生考 74 分。關於這個分布，下列敘述何者正確？

Step-by-step solution

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   把人數寫成符號。 設班級人數 $N$ 為偶數：$\tfrac{N}{2}$ 位學生考 $78$ 分，$k \ge 1$ 位考 $55$ 分，$\tfrac{N}{2} - k$ 位考 $74$ 分。答案必須對每一個合理的 $k$ 都成立，所以保留符號是最保險的做法。

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   定出中位數。 由低到高排序，$55$ 分排在最前面（共 $k$ 個），接著是 $74$ 分（共 $\tfrac{N}{2} - k$ 個），最後是 $78$ 分（共 $\tfrac{N}{2}$ 個）。正中間的兩個位置 $\tfrac{N}{2}$ 與 $\tfrac{N}{2}+1$ 分別放著 $74$ 與 $78$：

   $\text{中位數} = \frac{74 + 78}{2} = 76$

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   計算平均數。

   $\text{平均數} = \frac{78\cdot\tfrac{N}{2} + 55k + 74\left(\tfrac{N}{2}-k\right)}{N} = \frac{76N - 19k}{N} = 76 - \frac{19k}{N}$

   每一位考 $55$ 分而不是 $74$ 分的學生，都會讓總分少 $19$ 分，這正是分子裡的 $-19k$。

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   比較。 因為 $k \ge 1$，

   $\text{平均數} = 76 - \frac{19k}{N} < 76 = \text{中位數}$

   所以選項 D 正確：低分的離群值會移動平均數，卻不會移動中位數。

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   排除其他選項。 B 與 C 都與剛剛證明的嚴格不等式矛盾。A 錯，因為眾數是 $78$（出現最多次的分數，佔半個班），而平均數低於 $76 < 78$。

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   數值檢查。 $N = 20$、$k = 3$：十個 $78$、三個 $55$、七個 $74$。平均數 $= \tfrac{780 + 165 + 518}{20} = 73.15$，中位數 $= 76$，眾數 $= 78$。公式預測 $76 - \tfrac{57}{20} = 73.15$ — 完全吻合。