一箱有 15 件產品，其中 3 件瑕疵、12 件良品。不放回地隨機抽出五件。求 (1) 恰好 2 件瑕疵的機率、(2) 至少 2 件瑕疵的機率。

Step-by-step solution

1. 1

   把樣本空間設定成不計順序的選取。 從 $15$ 件中不論順序地取 $5$ 件，共有

   $\binom{15}{5}=\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{5!}=3003$

   種等可能的結果。因為抽取是不放回的，正確的計數工具是組合，而不是次方。

2. 2

   (1) 數出有利的選法。 恰好兩件瑕疵，就是從 $3$ 件瑕疵中選 $2$ 件、再從 $12$ 件良品中選 $3$ 件：

   $\binom{3}{2}\binom{12}{3}=3\times 220=660$

3. 3

   相除並約分。

   $P(\text{恰好 }2)=\frac{660}{3003}=\frac{20}{91}\approx 0.2198$

   （兩個數都能被 $33$ 整除。）

4. 4

   (2) 列出「至少 2 件」的情形。 因為箱中只有 $3$ 件瑕疵品，「至少 $2$ 件」就是恰好 $2$ 件或恰好 $3$ 件 — 只有兩種情形，所以不必用補事件：

   $\binom{3}{3}\binom{12}{2}=1\times 66=66$

5. 5

   把兩種互斥情形相加。

   $P(\text{至少 }2)=\frac{660+66}{3003}=\frac{726}{3003}=\frac{22}{91}\approx 0.2418$

   $\boxed{P(\text{恰好 }2)=\tfrac{20}{91},\qquad P(\text{至少 }2)=\tfrac{22}{91}}$

6. 6

   檢查完整分布是否加總為 1。 四種可能的瑕疵件數給出 $\binom{3}{0}\binom{12}{5}=792$、$\binom{3}{1}\binom{12}{4}=1485$、$660$ 與 $66$。總和為 $792+1485+660+66=3003=\binom{15}{5}$ ✓，這確認了上面每一個計數。