一副 60 張的牌中有 9 張標記牌。不放回地隨機抽出三張。其中至少有一張是標記牌的機率是多少？

Step-by-step solution

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   用補事件，不要分情形討論。「至少一張有標記」涵蓋一張、兩張或三張有標記。它的補事件只有一種：「一張標記牌都沒有」，所以

   $P(\text{至少一張})=1-P(\text{一張都沒有})$

   對至少一個這類問題，這永遠是比較省事的路線。

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   數出三張牌的總抽法數。 順序無關，所以

   $\binom{60}{3}=\frac{60\times59\times58}{3\times2\times1}=34220$

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   數出沒有標記牌的抽法。 三張都必須來自那 $51$ 張沒有標記的牌：

   $\binom{51}{3}=\frac{51\times50\times49}{3\times2\times1}=20825$

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   組出補事件的機率。

   $P(\text{一張都沒有})=\frac{20825}{34220}=0.60856\ldots$

   所以

   $P(\text{至少一張})=1-\frac{20825}{34220}=\frac{34220-20825}{34220}=\frac{13395}{34220}$

   約分後是 $\tfrac{2679}{6844}$。

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   換算成百分比。

   $\frac{13395}{34220}=0.391438\ldots\approx39.14\%$

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   拿一個較粗略的估計做合理性檢查。 單抽一張抽中標記牌的機率是 $\tfrac{9}{60}=15\%$。若三次抽取近似獨立，三次都沒中的機率大約是 $0.85^3=0.614$，也就是約有 $38.6\%$ 會中 — 與精確值 $39.14\%$ 很接近，那一點小差距來自抽取是不放回的 ✓。

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   說明為什麼開局手牌不影響結果。 就算先發了五張牌面朝下且不去看，之後抽的三張仍然是原本 $60$ 張的均勻隨機三張子集，所以同樣的計算原封不動地適用。