66% 的美國成人對報紙的信心很低。隨機選出十位成人，求信心很低的人數 (a) 恰好五位、(b) 至少六位、(c) 少於四位的機率。

Step-by-step solution

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   確認二項模型是否適用。 共有 $n=10$ 次彼此獨立的抽選，每次的結果不是「信心很低」就是不是，機率固定為 $p=0.66$。因此 $X\sim B(10,0.66)$，且

   $P(X=k)=\binom{10}{k}(0.66)^{k}(0.34)^{10-k}.$

2. 2

   第 (a) 小題：恰好五位。

   $P(5)=\binom{10}{5}(0.66)^{5}(0.34)^{5}=252(0.12523)(0.00454)=0.143.$

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   第 (b) 小題：至少六位。 把 $k=6$ 到 $k=10$ 的各項相加：

   $P(X\ge 6)=0.23195+0.25729+0.18729+0.08079+0.01568=0.773.$

   這一側的尾端比較大，因為平均數 $np=6.6$ 就落在裡面。

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   第 (c) 小題：先決定要不要用補事件。「少於四」指的是 $k=0,1,2,3$ — 共四項。補事件 $P(X\ge 4)$ 要算七項，所以這裡直接加總反而比較短。只有當你要的事件情形比補事件還多時，補事件才算是捷徑。

5. 5

   算出這四項。

   $P(0)=(0.34)^{10}=0.0000206,\qquad P(1)=10(0.66)(0.34)^{9}=0.0004007,$
   $P(2)=45(0.66)^{2}(0.34)^{8}=0.0035005,\qquad P(3)=120(0.66)^{3}(0.34)^{7}=0.0181203.$

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   相加後取近似。

   $P(X<4)=0.0000206+0.0004007+0.0035005+0.0181203=0.02204\approx 0.022.$

   這個值很小，符合預期：平均成功次數是 $6.6$，出現三次以下已經深入左尾。