某檢定得到統計量 卡方(1) = 137.38。求 p 值。

Step-by-step solution

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   先弄清楚這裡的 p 值是什麼。 $p$ 值就是上尾機率 $P\!\left(\chi^2_1 \ge 137.38\right)$：在虛無假設為真的前提下，看到至少這麼極端的統計量的機會。卡方檢定永遠是右側單尾，因為偏離的兩個方向都會把統計量推大。

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   用自由度 1 的卡方與標準常態之間的恆等關係。 若 $Z\sim N(0,1)$ 則 $Z^2 \sim \chi^2_1$。因此 $P\!\left(\chi^2_1 \ge c\right) = P\!\left(|Z| \ge \sqrt{c}\right) = 2\left(1-\Phi\!\left(\sqrt{c}\right)\right).$ 這就把一個不好查的卡方尾端，換成了熟悉的常態尾端。

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   把統計量換算成 z 分數。 $\sqrt{137.38} = 11.720921\ldots$ 所以觀察到的效果離虛無值將近 $11.7$ 個標準誤。

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   求出雙尾的常態尾端機率。 用封閉形式 $2\left(1-\Phi(z)\right)=\operatorname{erfc}\!\left(z/\sqrt{2}\right)$，於是 $p = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{137.38/2}\right) = \operatorname{erfc}(8.287943) \approx 9.96\times 10^{-32}.$

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   用漸近尾端估計確認。 當 $z$ 很大時 $1-\Phi(z)\approx \dfrac{e^{-z^2/2}}{z\sqrt{2\pi}}$，代入得 $p \approx \dfrac{2e^{-68.69}}{11.7209\sqrt{2\pi}} \approx 1.00\times10^{-31}$ — 數量級相同，所以前面算出的值可信。

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   解讀結果。 由於 $p \approx 10^{-31}$ 遠遠小於 $0.05$ 或 $0.001$ 這類常用門檻，虛無假設可以毫無疑義地被拒絕。統計軟體常把它印成 p < 0.001 甚至 p = 0；報告時應寫成 $p<0.001$，而不要字面上寫成零。