25 位顧客的年齡為 19、33、35、28、32、31、30、15、29、11、36、22、43、48、27、25、22、32、35、33、36、43、42、43、48。請用 Tukey 法求 Q1 與 Q3。

Step-by-step solution

1. 1

   先排序。 所有四分位數的算法都從排好序的清單開始：

   $11,15,19,22,22,25,27,28,29,30,31,32,32,33,33,35,35,36,36,42,43,43,43,48,48$

2. 2

   求中位數。 $n=25$（奇數）時，中位數是第 $13^{\text{th}}$ 筆：

   $\text{中位數}=32$

3. 3

   用 Tukey 的方式分成兩半。 這正是各種算法分道揚鑣的一步：Tukey 的樞紐會把中位數同時留在上下兩半，所以每一半都有 $13$ 個值：

   下半：$11,15,19,22,22,25,27,28,29,30,31,32,32$

   上半：$32,33,33,35,35,36,36,42,43,43,43,48,48$

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   取每一半的中位數。 每一半都有 $13$ 個值，所以每個四分位數都是單一的第 $7^{\text{th}}$ 筆 — 不必取平均：

   $Q_1=27,\qquad Q_3=36$

   $\boxed{Q_1=27,\quad Q_3=36}$

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   與軟體常用的排除法比較。 若把中位數從兩半都拿掉，每半剩 $12$ 個值，於是每個四分位數都變成兩個值的平均：

   $Q_1=\frac{25+27}{2}=26,\qquad Q_3=\frac{36+42}{2}=39$

   這就是為什麼計算機可能報 $26$ 與 $39$，而 Tukey 的答案是 $27$ 與 $36$。兩者都不算錯 — 它們只是不同的慣例，而考題必須說清楚要哪一種。

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   檢查大小順序。 兩種算法都滿足 $Q_1<\text{中位數}<Q_3$（$27<32<36$）✓，而且 Tukey 的四分位距 $36-27=9$ 比排除法的 $39-26=13$ 窄，這也在意料之中，因為把中位數含進去會把兩個樞紐都往中央拉。