一顆公正骰子擲八次。用機率空間描述這個實驗，並求至少擲出一次 6 的機率。

Step-by-step solution

1. 1

   建立機率空間。 一個結果會依序記錄八次的點數，所以

   $\Omega=\{1,\ldots,6\}^{8},\qquad |\Omega|=6^{8}=1\,679\,616,$

   並配上均勻測度，因為骰子公正且各次投擲互相獨立。

2. 2

   把「至少一次」轉成它的補事件。 若要去數出現一次、兩次…一直到八次 6 的方法數，就得把八個二項項加起來。補事件卻只有一個：

   $P(\text{至少一次 }6)=1-P(\text{一次 }6\text{ 都沒出現}).$

   「至少一次」幾乎永遠是「該用補事件」的訊號。

3. 3

   算出沒有 6 的機率。 單次投擲避開 $6$ 的機率是 $\tfrac56$，而各次獨立，所以八次都避開的機率是

   $\left(\frac{5}{6}\right)^{8}=\frac{390\,625}{1\,679\,616}=0.232568.$

4. 4

   用 1 減掉它。

   $P(\text{至少一次 }6)=1-\frac{390\,625}{1\,679\,616}=\frac{1\,288\,991}{1\,679\,616}\approx 0.7674.$

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   檢查答案是否合理。 出現 6 的次數期望值是 $8\times\tfrac16=1.33$，所以至少出現一次應該很可能但不到必然 — $76.7\%$ 正符合這個判斷。注意它不是 $8\times\tfrac16=133\%$；把互相重疊的事件機率直接相加是經典錯誤，而補事件的做法正好避開它。